八年级数学下册 16.2 二次根式的运算(第1课时)导学案 (新版)沪科版

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1、二次根式的运算1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：·＝(a≥0，b≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a≥0，b≥0的条件，因为只有a，b都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a，b两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a，b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式·＝(a≥0，b≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据

2、这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m·n＝mn(a≥0，b≥0)．【例1】计算：(1)×；(2)5×.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)×＝＝＝0.4×3＝1.2.(2)5×＝5××＝×＝.2．积的算术平方根的性质(1)＝·(a≥0，b≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2

3、)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如≠·，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)＝·(a≥0，b≥0)可以推广为＝··(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如的式子时，应先确定符号，原式化为，再化简．【例2】化简：(1)；(2)；(3)；(4)(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)＝＝×＝10.(2)＝＝××＝×7×3＝21.(3)＝＝＝20.(4)＝＝4ab3.3．二次根式的除

4、法法则对于两个二次根式，，如果a≥0，b＞0，那么＝.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有＝.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a，b既可以代表数，也可以代表式子；(2)m÷n＝＝(a≥0，b＞0，n≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时

5、，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－2a不能写成－2a.【例3】如果＝成立，那么(　　)．A．x≥0B．x≥1C．0≤x≤1D．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x≥0，x－1＞0，则x＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a≥0，b＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质

6、及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)＝＝，＝，显然＝；(2)＝＝，＝，显然＝，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a≥0，b＞0，那么＝，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有＝；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)5；(2)－2a；(3)－a；(4)x(x＜0，y＜0)．分析：将根

7、号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝，实际上是运用了公式a＝(a≥0)．同时，此题还运用了公式·＝(a≥0，b≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)5＝×＝＝.(2)∵＞0，∴a＞0.∴－2a＝－·＝－＝－.(3)∵－＞0，∴a＜0.∴