全国高考数学大题集

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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）19．（本小题满分12分）xyBAOaＣD如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标的关系式（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，求证：直线的斜率为定值．第19题图20．（本小题满分13分）生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只

2、数．（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望；（Ⅲ）求概率．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出与的递推关系式；xyBAOaＣD（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列

3、．19．解：（Ⅰ）由题意知，．因为，所以．由于，故有．　（1）由点的坐标知，直线的方程为．又因点在直线上，故有，将（1）代入上式，得，解得．（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为．所以直线的斜率为定值．20．解：（Ⅰ）的分布列为：0123456（Ⅱ）数学期望为．（Ⅲ）所求的概率为．21．解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）18．（本小题共13分）1231020304050参加人

4、数活动次数某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出

5、其定义域；（II）求面积的最大值．20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．（III）从合唱团中任选两名学

6、生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知；；的分布列：012的数学期望：．19．（共13分）解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得　，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．20．（共13分）（I）解：集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，．（II）证明

7、：首先，由中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即．（III）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学

8、（理工农医类）（福建卷）Oyx1lF20．（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方