弹簧-质量-阻尼模型

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1、弹簧-质量-阻尼系统1研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。2弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数

2、学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示，图2.1弹簧-质量-阻尼系统简图其中，表示小车的质量，表示缓冲器的粘滞摩擦系数，表示弹簧的弹性系数，（t）表示小车所受的外力，是系统的输入即（t）=

3、（t）,(t)表示小车的位移，是系统的输出，即（t）=(t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中=1kg，=2kg，==100N/cm，=300N/cm，==3Ns/cm，=6Ns/cm。由图2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下：对有：（2-1）对有：16（2-2）3建立状态空间表达式令,则原式可化为：化简得：（2-3）（2-4）整理得：（2-5）代入数据得：则系统的状态空间表达式为164化为对角标准型当系统矩阵A有n个不相等的特征根时，相应的有n个不相等的特征向

4、量，所以有矩阵A的特征矩阵根据矩阵论线性变换得：可以使用matlab进行对角标准型的运算，matlab作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab简化计算。（1）求特征值与特征向量A=[0010;0001;-40030096;150-2003-4.5]B=[00;00;10;00.5]C=[1000;0100][P,J]=eig(A)求得结果：P=160.0007-0.0402i0.0007+0.0402i0.0

5、401-0.0698i0.0401+0.0698i-0.0171+0.0157i-0.0171-0.0157i0.0176-0.0792i0.0176+0.0792i0.86500.86500.6682+0.2084i0.6682-0.2084i-0.3442-0.3621i-0.3442+0.3621i0.70500.7050J=0.3667+21.5183i00000.3667-21.5183i00001.8833+8.4864i00001.8833-8.4864i（1）P矩阵求逆PN=inv

6、(P)求得结果：PN=3.4167+9.7803i-2.1017-9.2399i0.3466-0.2323i-0.4703-0.1054i3.4167-9.7803i-2.1017+9.2399i0.3466+0.2323i-0.4703+0.1054i-3.3554+3.4224i3.7199+3.2032i0.2886-0.0353i0.5337-0.2409i-3.3554-3.4224i3.7199-3.2032i0.2886+0.0353i0.5337+0.2409i（2）带入公式解得对

7、角标准型为：5求状态空间表达式的解（1）求状态转移矩阵其中，T为特征向量16状态转移矩阵为：5可控性与可观性不同于经典控制理论，能控性和能观性，是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。但是现代控制理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入u（t）引起状态x（t）的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出y（t）的变化。能控能观

8、便是定性的描述输入u（t）对状态x(t)的控制能力，输出y（t）对状态x（t）的反应能力，他们分别回答了“输入能否控制状态的变化”------可控性“状态的变化能否有输出反映出来”----------可观性另外在工程上常用状态变量作为反馈信息，可是状态x（t）的值通常是难测的，往往需要从测量到的y（t）中估计出状态，如果输出y（t）不能完全反映出系统的状态x（t），那么就无法实现对状态的估计。能控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的