高考数学复习热点难点精讲精析22函数的单调性与最值

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1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

2、维流程为:（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：（3）能求导的用导数法，其思维流程为：（4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即8内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗(2011·江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______.(2)判断函数在(-1，+∞)上的单调性.【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.(1)转化为基本初等函数的单调性去判断；

3、(2)可用定义法或导数法.解析：(1)函数f(x)的定义域为(，+∞)，令t=2x+1(t>0),因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(,+∞).答案：(，+∞)(2)方法一：定义法：设x1>x2>-1,则∵x1>x2>-1,x2-x1<0,x1+1>0,x2+1>0,即y1-y2<0,y1

4、大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解析：设y=，u=x2+x-6．8由x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．又∵函数y=是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．〖例3〗设，(1)试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;解析:1)∵>0且2－x≠0∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴………………………

5、………3分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分8用数学归纳法易证证略.……  12分二、应用函数的单调性1．应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2．例题解析〖例1〗(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)

6、［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.8解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)0.解得:m<-2或m>1.所以m的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞).答案：(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y

7、=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，∴函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减,∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增，因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增，又f(-1)=f(1),0<1<2,∴f(2)>f(-1)>f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为由图象知f(2)>f(-1)>f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据