高考数学(理)一轮复习教案选修4-4_坐标系与参数方程第2讲_参数方程

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1、第2讲　参数方程【2013年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．常见曲

2、线的参数方程的一般形式(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．(2)圆的参数方程(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)．抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)．双基自测1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)．A．直线、直线B．直线、圆21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网C．圆、圆D．圆、直线解析　∵ρcosθ＝x，∴cosθ

3、＝代入到ρ＝cosθ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵相加得x＋y＝1，表示直线．答案　D2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.解析　参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.答案　－63．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析　题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4,0)．答案　(－4,0)4．(2011·广州调研)已知直线l的参数方程为：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则直线l与圆C的位置关系为____

4、____．解析　将直线l的参数方程：化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝2，圆心(0，)到直线y＝1＋2x的距离为，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．答案　相交5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．解析　由(0≤θ＜π)得，＋y2＝1(y≥0)由(t∈R)得，x＝y2，∴5y4＋16y2－16＝0.解得：y2＝或y2＝－4(舍去)．21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网则x＝y2＝1又θ≥0

5、，得交点坐标为.答案　考向一　参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)　(2)[审题视点](1)利用平方关系消参数θ；(2)代入消元法消去t.解　(1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋t中，得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通

6、方程，不要忘了参数的范围．【训练1】(2010·陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为________．解析　由得①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.答案　x2＋(y－1)2＝1考向二　直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网[审题视点](1)求圆心到直线l的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化

7、为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解　(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cosα＋sinα)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cosα＋sinα)2－12≥0，则sin2≥，即sin≥或sin≤－.又0≤α＜π，故只能sin≥，即≤α＋≤，即≤α≤.如果问题中的方程都是参数

8、方程，那就要至少把其中的