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《高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量的应用举例》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第四章 平面向量与复数第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例(对应学生用书(文)、(理)65~67页)考情分析考点新知①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直.平面向量的数量积及其几何意义,数量积的性质及运算律,数量积的坐标表示.②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.1.(必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°,
2、a
3、=2,
4、b
5、=3,则向量a
6、和向量b的数量积a·b=________.答案:-3解析:a·b=
7、a
8、·
9、b
10、cos135°=2×3×=-3.2.(必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足
11、a
12、=1,
13、b
14、=4,且a·b=2,则a与b的夹角为________.答案:解析:∵cos〈a,b〉==,∴〈a,b〉=.3.(必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a,b满足
15、a
16、=1,
17、b
18、=2,a与b的夹角为60°,则
19、a-b
20、=________.答案:解析:
21、a-b
22、====.4.(必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2
23、的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.答案:-6解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e.因为e1,e2为单位向量,〈e1,e2〉=,所以b1·b2=3-2×-8=3-1-8=-6.5.(必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是________.答案:菱形解析:四边形ABCD满足+=0知其为平行四边形,(-)·=0即·=0知该平行四边形的对角线
24、互相垂直,从而该四边形一定是菱形.1.向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角(2)已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量
25、a
26、
27、b
28、cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,并规定零向量与任一向量的数量积为0.2.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ是a与b的夹角,则(1)e·a=a·e.(2)a⊥ba·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=
29、a
30、
31、b
32、;当a与b反向时,a·b=-
33、a
34、
35、b
36、;特殊的,a·a=
37、a
38、2或
39、a
40、=.(4)cosθ=.(5)
41、a·b
42、≤
43、a
44、·
45、b
46、.3
47、.向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a.(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.(3)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).4.平面向量数量积的坐标表示(1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.故a⊥bx1x2+y1y2=0.(2)设a=(x,y),则
48、a
49、=.(3)若向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)的夹角为θ,则有cosθ==.[备课札记]题型1 向量平行与垂直的充分条件例1 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x
50、∈R.(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求
51、a-b
52、的值.解:(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),∴
53、a-b
54、==2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),∴
55、a-b
56、==2.综上,可知
57、a-b
58、=2或2.已知向量a=
59、(1,2),b=(-2,m),x=a+(t2+1)b,y=-ka+b,m∈R,k、t为正实数.(1)若a∥b,求m的值;(2)若a⊥b,求m的值;(3)当m=1时,若x⊥y,求k的最小值.解:(1)因为a∥b,所以1·m-2·(-2)=0,解得m=-4.(2)因为a⊥b,所以a·b=0,所以1·(-2)+2m=0,解得m=1.(3)当m=1时,a·b=0.因为x⊥y,所以x·y=0.则x·y=-ka2+a·b+(t+)b2=0.因为t>0,所以k=t+≥2,当t=1时取等号,即k的最小值为2.题型2 向量的夹角与向量的模例
60、2 已知
61、a
62、=4,
63、b
64、=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求
65、a+b
66、;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4
67、a
68、2-4a·b-3
69、b
70、2=61.又
71、a
72、=4,
73、b
74、=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b