学科网3-2-1备战2010高考精品系列之数学专题十二极限

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1、3年高考2年模拟1年原创极限3年高考2年模拟1年原创极限【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布极限作为初等数学与高等数学的衔接点，每年必考，主要考查极限的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“小题”，在选择、填空题中出现，都属容易题；极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学

2、命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．【考点pk】名师考点透析考点一、数学归纳法【名师点睛】1．数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.特别提示（1）用数学归纳法证题

3、时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标2．数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.．【试题演练】设数列{an}满足a1=2，an+1=an+（n=1，2，…）.（1）证明an＞对一切正整数n都成立；（2）令bn=（n=1，2，…），判定bn与bn+1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n=1时，a1=2＞，不等式成立.假设n=k时，ak＞成立，当n=k+1时，ak+12=ak2++2＞2k+3+＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，ak+

4、1＞成立.综上，由数学归纳法可知，an＞对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2＞=结论成立.假设n=k时结论成立，即ak＞，当n=k+1时，由函数f（x）=x+（x＞1）的单调递增性和归纳假设有343年高考2年模拟1年原创极限ak+1=ak+＞+===＞=.∴当n=k+1时，结论成立.因此，an＞对一切正整数n均成立.（2）解：==（1+）＜（1+）===＜1.故bn+1＜bn.误点警示：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.二、数列的极限．【名师点睛】1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列

5、{an}的项an无限地趋近于某个常数【试题演练】1求下列数列的极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）.分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）==.343年高考2年模拟1年原创极限（2）（－n）===.（3）原式===（1+）=1.误点警示：:对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，

6、∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.2.已知数列｛｝是由正数构成的数列，＝3，且满足lg＝lg＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛｝的通项公式及前n和；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则＝3·ｃn－1.∴＝（2）＝.①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝.误点警示：几个常用的极限：

7、①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（

8、q

9、＜1）。求数列极限时要注意分类讨论三、函数的极限．根限的四则运算法则．【名师点睛】1.函数极限的概念：（1）如果=a且=a,那么就说当x趋向于无穷大时，343年高考2年模拟1年原创极限1.求下列函数的极限：（1）（（2）（－x）（3）；（4）解:（1）原式＝＝=－.（2）原式==a+b.（3）因为=1,而==－1，≠,所以不存在．（4）原式=＝（cos+sin）＝误点警示：1。函数极限有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需注意.2．在求函数极限时需观察，对不能直接求的

10、可以化简后求，但要注意与的区别.四、函数的连续性【名师点睛】1.函数的连续性.一般地，函数在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：343年高考2年模拟1年原创极限（1）函数在点x=x0处有定义；（2）存在；（3）=.如果函数y=在点x=x0处及其附近有定义，而且=,就说函数在