高等数学讲义(汪诚义)第三章

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1、高等数学第三章一元函数积分学§3.1不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1、原函数与不定积分的概念设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若=f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为。其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积表达式。2、不定积分的性质设＝F(x)＋C,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。则(1)＝F(x)＋C或＝F(x)＋C(2)=f(x)或d＝f(x)dx(3)＝k(4)=3、原函数的存在性设f(x)在区间I上连续，则f(x

2、)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如，，，，，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、基本积分表（略）三、换元积分法和分部积分法1、第一换元积分法（凑微分法）设=F(u)+C=F[]+C这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。53高等数学1、第二换元积分法设x＝可导，且，若，则其中t＝为x＝的反函数。2、分部积分法设u(x)，v(x)均有连续的导数，则＝u(x)v(x)－或＝u(x)v(x)－（1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)为n次多项式，a为常数。要进

3、行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为；多项式部分为u（x）。（2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)为n次多项式取P(x)为，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。53高等数学§3.2定积分和广义积分的概念与计算方法（甲）内容要点一、定积分的概念与性质1、定积分的定义及其几何意义2、定积分的性质中值定理，设f（x）在上连续，则存在使得定义：我们称为f（x）在上的积分平均值。二、基本定理1、变上限积分的函数定理：设f（x）在上连续，则在上可导，且推广形式，设

4、＝，可导，f(x)连续，则＝2、牛顿－莱布尼兹公式设f（x）在上可积，为f（x）在上任意一个原函数，则有＝＝三、定积分的换元积分法和分部积分法1、＝（x＝在上有连续导数，单调，）2、四、广义积分定积分的积分区间是有限区间，又f（x）在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f（x）推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。1、无穷区间上的广义积分定义：若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。53高等数学＝同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。＝＋＝＋2、无界函数的广义积分（瑕积分）(1)设f（x）

5、在内连续，且，则称b为f（x）的瑕点。定义若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散。发散的广义积分没有值的概念。(2)设f（x）在内连续，且，则称a为f（x）的瑕点定义＝若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散，它没有值。（3）设f（x）在和皆连续，且，则称C为f（x）的瑕点定义＝＋＝＋§3.4定积分的应用（甲）内容要点一、平面图形的面积1．直角坐标系模型Ⅰ，其中，模型Ⅱ，其中，注：53高等数学复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型Ⅱ加以计算，然后再相加。2.极坐标系模型Ⅰ模型Ⅱ3．参数形

6、式表出的曲线所围成的面积设曲线C的参数方程在（或）上有连续导数，且不变号，且连续。则曲边梯形面积（曲线C与直线x＝a，x＝b和x轴所围成）三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积（1）平面图形由曲线y=f(x)()与直线x＝a，x＝b和x轴围成绕x轴旋转一周的体积绕y轴旋转一周的体积（2）平面图形由曲线x=g(y)()与直线y＝c，y＝d和y轴围成绕y轴旋转一周的体积绕x轴旋转一周的体积53