高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 推出与充分条件、必要条件学业分层测评 新人教b版选修2-1

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1、1.3.1推出与充分条件、必要条件(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．【答案】　A2．已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“＋＝2”，则命题甲是命题乙的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　若＋＝2，则a

2、＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件．【答案】　A3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)【导学号：15460014】A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】　A4．“a＝

3、－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】　当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】　B5．已知函数f(x)＝x＋bcosx，其中b为常数，那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

4、件【解析】　当b＝0时，f(x)＝x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，∴－x＋bcosx＝－x－bcosx，从而2bcosx＝0，b＝0.【答案】　C二、填空题6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．【解析】　“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】　必要不充分7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．【解析】　若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(

5、a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．【答案】　充要8．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；(2)“a＝1”是“函数f(x)＝

6、2x－a

7、在区间上是增函数”的__

8、______．【解析】　(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝

9、2x－a

10、＝

11、2x－1

12、在上是增函数；但由f(x)＝

13、2x－a

14、在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝

15、2x－a

16、＝

17、2x

18、在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝

19、2x－a

20、在区间上是增函数”的充分不必要条件．【答案】　(1)③　(2)①三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．(1)p：

21、x

22、＝

23、y

24、，q：x＝y

25、；(2)在△ABC，p：sinA>，q：A>.【解】　(1)因为

26、x

27、＝

28、y

29、⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒

30、x

31、＝

32、y

33、，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．(2)因为A∈(0，π)时，sinA∈(0,1]，且A∈时，y＝sinA单调递增，A∈时，y＝sinA单调递减，所以sinA>⇒A>，但A>sinA>.所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．10．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．【证明】　充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccosA

34、可得1＋2cosA＝＝.即sinB＋2sinBcosA＝sin(A