全国高中数学联赛模拟卷二试

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1、2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟满分：180分)ABCPQIDO1I1I2姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在中，是斜边上的高，记分别是△ADC,△BCD,△ABC的内心，在边上的射影为，的角平分线分别交于，且的连线与相交于，求证：四边形为正方形．二、（本题满分40分）给定正数a,b,c,d,证明：三、（本题满分50分）设，定义，，证明：当时，为整数，且为奇数的充要条件是四、（本题满分50分）试求最小的正整

2、数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.一．证明：不妨设≥，由且分别是其内心，得且，所以则①设的内切圆半径分别为，的三边长为，在边上的射影为，并且，则，所以，，，因此．且，②则四点共圆（由①知）所以，同理，∴，又由角平分线性质得ABCPQIDO1I1I2同理，另一方面，又，而，第24页共24页所以，同理，所以四边形为平行四边形，由②知四边形为正方形．二．解：由于问题的对称性,只要证明对于任何正数下式成立因为如果上式成立,则原式的左边不小于不失一般性,可以在的假设下证明上述不等式.如果,只要将不等式

3、两边同除,令于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数证明此不等式证明如下：三．证明：注意到得反复运用上式，得，其中，得，从而可知，因此是整数.（1）当时，由有奇数个奇数项知为奇数，所以为奇数.（2）当时，，故，所以为偶数（3）当时，，故，所以为偶数综上所述，命题成立，证毕.四．解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，.再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如

4、下10个数所构成的集合:为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段时，其中必有连续10个数同属于.现在设是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为第24页共24页2014全国高中数学联赛模拟题(2)加试（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40

5、分）在△ABC中，AB＞BC，K、M分别是边AB和AC的中点，O是△ABC的内心。设P点是直线KM和CO的交点，而Q点使得QP⊥KM且QM∥BO，证明：QO⊥AC。2、（本题40分）已知无穷数列满足.（1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数,使当时，恒为常数？（2）求数列的通项公式.3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其

6、他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. (第6届国际数学奥林匹克试题)4、（本题50分）设，证明：（1）对所有；（2）当时，（即互质）1、证：作OR⊥AC于R，过P作MK的垂线，交直线OR于Q点（如图）。这样只需证Q’M∥O，因为这时Q和Q’重合。   因为K，M分别为AB和AC的中点，所以KM∥BC，于是∠MPC＝∠BCP＝∠ACB＝∠MCP。因此MP＝MC＝MA，这样一来，P点在以AC为直径的圆周上，且∠APC＝90°。   在四边形APOR中，∠APO＝∠ARO＝

7、90°，所以APOR内接于圆，∠RPO＝∠RAO＝×∠BAC。   在四形边MPQ’R中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R内接于圆，于是∠Q’MR＝∠Q’PR＝∠Q’PO＋∠OPR＝（90°－∠OPM）＋∠BAC＝（90°－∠ACB）＋∠BAC。   设BO交AC于D，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠ACB－∠ABC＝90°＋∠BAC－∠ACB＝∠Q’MR，因此MQ’∥BO，于是本题得证。第24页共24页2、解：由递归方程，得不动点.由不动点方法.令，则.易知，.注意到，其中，，，为斐波那契数列.于是，.

8、故.（1）要使总存在正整数，当时，恒为常数，还需分情况讨论.（i）若，当时，恒为常数.由，，，……有，且.此时，恒为常数1或.（ii）若，当时，恒为常数.首先，当时，如果，由，及，有.注意到.又由，有.于是，由，有，矛盾.此时，只能是，即，所以，，，……于是，，且，且，或，且，.第24页共24页因此，当