函数的单调性与极值(1)

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1、本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com专题六函数导数专题【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．【例题解析】题型1函数的概念及其表示例1（2008高考山东文5）设函数则的值为（）A．B．C．D．分析：由内向外逐步计算．解析：，故．答案A．点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求出函数值．例2（绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题）如图，函数的图象是曲线，其中点的坐标分别为，则的值等于．分析：从图象上理解自变量与函数

2、值的对应关系．解析：对于．点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质．题型2函数的图象与性质例3（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题）已知为非零实数，若函数的图象关于原点中心对称，则．分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意都有点特点可得一个关于的恒等式，根据这个恒等式就可以确定的值，特别地也可以解决问题．解析：对于函数的图象关于原点中心对称,则对于，因此有．答案．点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教

3、育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com例4（绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题）设，则（）A．B．C．D．分析：以和为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决．解析：对于，因此．答案A．点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线．题型3函数与方程例5．（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第3题）函数的零点的个数是A．B．C．D．分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决．解析：对于，因此函数在上

4、单调递增，而对于，因此其零点的个数为个．答案B．点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案．例6．（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第题）函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．解析：当时，为函数的零点；当是，若，即时，是函数唯一的零点，若，显然函数不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程有一个正根一个负根，即，即．综合知答案B．点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所

5、着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题．题型5导数的意义、运算以及简单应用例8．（2008高考江苏8）直线是曲线的一条切线，则实数．分析：切线的斜率是，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来的值．解析：21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com方法一，令得，即切点的横坐标是，则纵坐标是，切线过点，所以．方

6、法二：设曲线上一点点坐标是，由知道过该点的曲线的切线的斜率是，故过该点的曲线的切线方程是，即，根据已知这条直线和直线重合，故．答案：．点评：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略．在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实，要引以为戒．例9．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第2题）已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为A．B．C．D．分析：对运动方程求导就是速度非常．解析：，将代入即得．答案D．点评：本题考查导数概念的实际背

7、景，考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”，要注意这样的考点．例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第14题）若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是．分析：问题等价于函数在区间的最大值与最小值的差不大于，可以通过求函数在上的最值解决．解析：问题等价于函数在的．，函数的极小值点是，若，则函数在上单调递减，故只要，即只要，即；若，此时，由于，故当时，，此时只要即