高中数学 2.2 等差数列阅读材料素材 新人教a版必修5

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1、等差数列等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，那么这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.等差数列的基本公式通项公式　　an=a1+(n-1)d，注意：等差数列求和公式  即第n项=首项+(n-1)×公差（n是项数）前n项和公式　　Sn=na1+或Sn=（相当于n个等差中项之和）.　　注意：n是正整数　　等差数列前n项求和，实际就是梯形公式的妙用：　　上底为a1（首项），下底为a1+(n-1)d,高为n，　　即=a1n+.推论　　一、从通项公式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一

2、条直线上，由前n项和公式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0.　　二、从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.　　三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq.　　若m+n=2p,则am+an=2ap.等差中项　　等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项.　　在等差数列中，等差中项一般设为Ar.当Am,Ar,An

3、成等差数列时，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数，并且可以推知n+m=2r，且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d，类似地pn=pm+(n-m)d，相当容易证明.　　它可以看作等差数列广义的通项公式.　　等差数列常应用于日常生活中，如在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级.　　其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：　　今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?　　书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日

4、数，即得。　　这相当于给出了Sn=的求和公式.等差数列小故事　　高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿同享盛名.　　高斯，1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根.幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育.1795～1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁根大学教授兼哥廷根天文台台长直至逝世.　　高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，不久后，高斯在数学上就显露出了常人难以比拟的天赋，最能证明这一点的是高斯十

5、岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去.彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊.而更使人吃惊的是高斯的算法.他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……，共有50对这样的数，用101乘以50得到5050.这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了.等差数列的基本性质r次等差数列　　为什么在等差数列的学习中

6、对公差和首项特别地关注？因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点.当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫地抛弃公差和首项.　　假设一个基向量En(x)=[1,x,x2,…,xk]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,…,bk].b同En的长度一样为k+1，b′表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列；当k=r时，我们可以称为r次数列(x,k只能取自然数).　　p(x)=En(x)·b′.　　s(x)=x·En(x)·A·b′.　　m+n=p+q（m，n，p，q∈N*)，则am+an=ap+aq.一次等差数列的性质　　1.p1(x),p2(x)均为一次等差数列

7、，则p1(x)±p2(x)与c·p1(x)±p2(x)(c为非零常数)也是一次等差数列.p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线.　　2.pm-pn=En(m)·b′-En(n)·b′=(En(m)-En(n))·b′=（0,m-n）·b′.　　3.m+n=p+q⇒pp+pq=pm+pn　　(证明:m+n=p+q⇒En(m)+En(n)=En(p)+En(q).　　pm+pn=En(m)·b′+En(n)·b′=(En(m)+En(n))·