考研数学春季基础班高数下讲义-铁军(大连

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1、万学教育·海文考研2011春季数学基础班—高等数学下2011年万学海文高等数学春季基础班考研辅导讲义主讲铁军教授铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘

2、学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！第六章多元函数微积分学（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。第一节多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。63内部教材严禁复

3、制万学教育·海文考研2011春季数学基础班—高等数学下【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何

4、意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。一、多元函数微分学

5、的基本概念及其关系定义1设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点(x,y)以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。定义2如果连续。如果在区域D上每一点都连续，则称在区域D上连续。定理1最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。定理2介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。定义3偏导数的定义设函数的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限为函数处对x的偏导数，记作即.63内部教材严禁复制万学教育·海文考研2011春

6、季数学基础班—高等数学下类似地，函数的偏导数定义为.定义4如果二元函数z=f(x,y)在区域D的每一点(x,y)处都有偏导数，一般地说，它们仍是x,y的函数，称为f(x,y)的偏导函数，简称偏导数，记为定义5高阶偏导数如果二元函数仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数，记作其中称为混合偏导数，类似地可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数。定理3如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则在D内，即二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关。定义6全微分设二元函数z=f(x,y)

7、在点(x,y)的某邻域内有定义，当f(x,y)的全增量可以表示为，其中A，B不依赖于，而仅与x,y有关，，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，称为函数f(x,y)在点（x,y）处的全微分，记作定理4若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则必在(x,y)处连续。定理5可微的必要条件如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x,y)处的两个偏导数都存在，且。又对于自变量x,y有定理6可微的充分条件如果函数z=f(x,y)的偏导数连续，则函数在该点可微。偏导数的几何意义：设有二元函

8、数63内部教材严禁复制万学教育·海文考研2011春季数学基础班—高等数学下在几何上分别表示曲线的切线对x轴和对y轴的斜率。【考点一】（1）求二元函数的极限值时，一般应用两边夹定理或化为一元函数的极限进行求解。（2）当点沿着不同的路径趋于点时，若函数的极限值不同，则二重极限不存在。【例1】求下列二重极限：（1）（2）（3）【考点二】多元函数连续、偏导数存在与可微之间的关系：可微偏导数存在，但偏导数存在