2016高考数学大一轮复习 8.1空间几何体及其表面积、体积试题 理 苏教版

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1、第八章立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积一、填空题1．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为________．解析这个空间几何体的直观图如图所示，由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是，故其侧视图只可能是②中的图形．答案②2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都

2、是直角三角形的四面体．解析　①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案　①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析　设侧棱长为a，则a＝2，a＝，侧面积为3××a2＝3，底面积为×22＝，表面积为3＋.答案　3＋4．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′

3、C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是一个长为4cm，宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.答案矩形　85.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝.答案

4、　6.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为a，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则其全面积为________．解析　如题图，过B作BD⊥AA1于D，连接CD，则△BAD≌△CAD，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以AD⊥CD，AD⊥BD，所以△BCD为垂直于侧棱AA1的截面．又因为∠BAD＝60°，AB＝a，所以BD＝a.所以△BDC的周长为(＋1)a，从而S侧＝(＋1)a2，S底＝×a2sin60°＝a2.故S全＝S侧＋2S底＝a2.答案　a27．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面A

5、BCD内的一个动点，且满足PM＝2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是________．解析　由PM＝2，知点P在以M为圆心，2为半径的圆上．又由P到直线A1D1的距离为，知点P在与BC平行且过AB中点的直线上，故点P的轨迹是它们的交点，即为两点．答案　两个点8．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于________．解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立．此时四边形ABCD为正方形，其中心

6、到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.答案16π9．已知点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB＝PC＝1cm，则球的表面积为________cm2.解析　如图，取AB的中点M，连接PM、CM，过P作棱锥的高PN，则垂足N必在CM上，连接AN.棱锥的四个侧面都是边长为1的正三角形，故可得CM＝PM＝，从而CN＝CM＝，在Rt△PCN中，可求得PN＝，连接AO，则AN＝CN＝，设AO＝PO＝R，则在Rt△OAN中，有R2

7、＝2＋2，解得R＝.∴球的表面积S＝4πR2＝(cm2)．答案　π10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为________，__________.解析由三视图可知，该几何体的下部是一底边长为2，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长．所以长方体的表面积为S1＝2×2×2＋4×2×4＝40，长方体的体积为V1＝2×2×4＝16，球的表面积和体积分别为S2＝4×π×12＝4π，V2＝×π×13＝，故该几何体的表面积为S＝S1＋S2＝40＋4π，该几何体的体积为V＝V1＋V2＝16＋.答案40＋4π；1

8、6＋π二、解答题11.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．(1)证明　由