多刚体系统运动学与动力学

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1、计算多体系统运动学与动力学(Simplified)ComputationalKinematicsandDynamicsofMulti-bodySystems（forengineer@sohu.comforengineer@126.com）1旋转变换图1旋转变换如图1所示，设有矢量P，它在坐标系O0x0y0z0下的表达式为P=xi+yj+zk(1)000000它在坐标系O1x1y1z1下的表达式为P=xi+yj+zk(2)111111因此有xi+yj+zk=xi+yj+zk(3)000000111111(3)式两边点乘i，得0x=xi⋅i+yj⋅i+zk⋅i(4

2、)0110110110同理，可得j=xi⋅j+yj⋅j+zk⋅j(5)0110110110z=xi⋅k+yj⋅k+zk⋅k(6)0110110110设有矩阵i1⋅i0j1⋅i0k1⋅i0r11r12r131R=i⋅jj⋅jk⋅j=rrr(7)0101010212223i⋅kj⋅kk⋅krrr101010313233该矩阵称为方向余弦阵。T假设P在坐标系O0x0y0z0和O1x1y1z1的坐标值分别为P=[]xyz、0000[]TP=xyz，则有：11111P=RP(8)001i用R表示i系向j系转换的方向余弦阵，则有：j

3、2123123n12nR=RR，R=RRR，⋯，R=RR⋅⋅⋅R(9)0010012001n−12欧拉角坐标和卡尔丹角坐标（1）欧拉角坐标bbbb可以将刚体的姿态分解为依次绕连体基e的基矢量ee和e转过有限323角度ϕ、θ和φ来实现，这三个角坐标称为欧拉角坐标，并分别称为进动角、章动角和自转角。图2欧拉角刚体的姿态可以看成是ϕ、θ和φ三次旋转的叠加，每次旋转的方向余弦矩阵分别为：，，(10)最终的方向余弦矩阵是这三次方向余弦矩阵的乘积(11)（2）卡尔丹角坐标bbbb将刚体的姿态分解为依次绕连体基e的基矢量ee和e转过有限角度123α、β和γ来实现，这三个角坐

4、标称为卡尔丹角坐标。图3卡尔丹角刚体的姿态可以看成是α、β和γ三次旋转的叠加，每次旋转的方向余弦矩阵分别为：，，(12)最终的方向余弦矩阵是这三次方向余弦矩阵的乘积：(13)3齐次坐标齐次坐标是用n+1维坐标来描述n维空间中的位置。引入齐次坐标，不仅对坐标变换的数学表达带来方便，而且也具有坐标值缩放的实际意义。T三维空间任一点P在直角坐标系Oxyz下的坐标为(x，y，z)，对应的齐次坐T标为(x,x,x,x)，且：1234x=xxy=xxz=xx(14)142434称x4为比例坐标，且不等于零的实数。应该注意的是，一个点的直角坐标是单值的，对应的齐次坐标是多值

5、的，即TT(x,x,x,x)和(kx,kx,kx,kx)，k是非零实数，都表征同一点。若两点的齐12341234TT次坐标为(x,x,x,x)，(x,x,x,x)，这两个齐次坐标相等的条件是：12345678xx=xx,xx=xx,xx=xx(15)145824683478TTOxyz直角坐标系原点的齐次坐标为[000a]，a为非零实数。齐次坐标[1000]、TT[01000]和[0010]分别表示了x、y和z轴的无穷远点。当齐次坐标中最后一个元素趋近于0时，表示了无穷远点，它扩大了描述空间，当这个元素取1时，表示了物理空间的一个点，通常取它为1。4平移齐次变

6、换图4平移齐次变换当两坐标系只有平动没有转动时，设点P在坐标系O0x0y0z0下的坐标为[x0y0TTz0],在O1x1y1z1下的坐标为[x1y1z1]，坐标系O1x1y1z1的原点O1在O0x0y0z0下T的坐标为[abc]。则有下列关系：x0x1+ayy+b0=1(16)zz+c0111把式(12)写成矩阵的形式：x0x1100ax1yy010by0=T1=1(17)zz001cz0111100011100a

7、010b其中T为平移变换矩阵，=T为OT，[abc1]1x1y1z1的原点O1在001c0001TO0x0y0z0下的齐次坐标。若求[x1y1z1]，则：x1x0yy1=T−10(18)zz10115旋转齐次变换图5旋转齐次变换当两坐标系只有转动没有平动时，已知P点在坐标系O1x1y1z1下的齐次坐标T为[x1y1z11]，坐标系O1x1y1z1相对于坐标系O0x0y0z0旋转一定角度后，求P在O1x1y1z1下的坐标。这是旋转齐次变换问题。将式(8)写成齐次坐标的形式：x00x1

8、x1y1yy0