2012中考数学压轴题 函数梯形问题(二)

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1、2012中考数学压轴题函数梯形问题(二)例3如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．(1)写出点M的坐标；(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图像可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ∶CM＝1

2、∶2只有一种情况，此时Q在y轴上；CM∶PQ＝1∶2有两种情况．思路点拨1．第（1）题求点M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系．3．探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况．4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH与MO的长度比．满分解答(1)因为AB＝OC＝4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝，得y＝2．所以点M的坐标为（0，

3、2）．(2)①如图2，过点Q作QH^x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝x–t．因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．如图3，当P与C重合时，，解方程，得．如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝±2．因此自变量x的取值范围是，且x¹±2的所有实数．图2图3图4②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．当时，．解方程，得（如图5）．此时．当时，．解方程，得．如图6，当时，；如图6，当时，．图5图6图7考点伸展本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？设点Q的坐标为，那

4、么．而点Q到x轴的距离为．因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切．例4已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．(1)求点D的坐标；(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“10奉贤24”，分别双击按钮“MO//AD”、“MA//OD”和“MD//OA”，可以体验到，在“MO//AD”和“MA//OD”两种情况下

5、，根据两直线平行，内错角相等，可以判定直角三角形相似；在“MD//OA”情况下，根据对称性可以直接得到点M的坐标．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．过△AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形．3．用抛物线的解析式可以表示点M的坐标．满分解答(1)因为BC//x轴，点D在BC上，C(0,－2)，所以点D的纵坐标为－2．把y＝－2代入，求得x＝3．所以点D的坐标为(3,－2)．(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入D(3,－2)，得．所求的二次函数解析式为．(3)设点M

6、的坐标为．①如图2，当OM//DA时，作MN⊥x轴，DQ⊥x轴，垂足分别为N、Q．由tan∠MON＝tan∠DAQ，得．因为x＝0时点M与O重合，因此，解得x＝7．此时点M的坐标为（7，14）．②如图3，当AM//OD时，由tan∠MAN＝tan∠DOQ，得．因为x＝4时点M与A重合，因此，解得x＝－1．此时点M的坐标为．③如图4，当DM//OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，－2）．图2图3图4考点伸展第（3）题的①、②用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等．如果用代数法进行，计算过程比较麻烦．以①为例，先求出直线AD的解析式，再

7、求出直线OM的解析式，最后解由直线OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组．