2013高考数学二轮专题辅导与训练 专题一第5讲导数及其应用课时训练提能

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1、专题一第5讲 导数及其应用课时训练提能[限时45分钟,满分75分]一、选择题(每小题4分,共24分)1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)=A.-e   B.-1C.1   D.e解析 f′(x)=2f′(1)+,令x=1,得f′(1)=2f′(1)+1,∴f′(1)=-1.故选B.答案 B2.(2012·泉州模拟)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为A.3B.2C.1D.解析 设切点为(x0,y0).∵y′=x-,∴x0-=,解得x0=3

2、(x0=-2舍去).答案 A3.(2012·聊城模拟)求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy解析 两函数图象的交点坐标是(0,1),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故求曲线y=x2与y=x所围成图形的面S=(x-x2)dx.答案 B4.函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则a的取值范围是A.B.C.(-∞,0]D.解析 当x≤0时,f′(x)=6x2+6x,函数的极大值

3、点是x=-1,极小值点是x=0,当x=-1时,f(x)=2,故只要在(0,2]上eax≤2即可,即ax≤ln2在(0,2]上恒成立,即a≤在(0,2]上恒成立,故a≤ln2.答案 D5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是解析 设h(x)=f(x)ex,则h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+bx+b+c)ex.由x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,得当x=-1时,ax2+2ax+

4、bx+b+c=c-a=0,∴c=a.∴f(x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有两根x1、x2,则x1x2==1,D中图象一定不满足该条件.答案 D6.设a∈R,若函数f(x)=eax+3x(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围是A.(-3,2)B.(3,+∞)C.(-∞,-3)D.(-3,4)解析 由已知得f′(x)=3+aeax,若函数f(x)在x∈R上有大于零的极值点,则f′(x)=3+aeax=0有正根.当3+aeax=0成立时,显然有a<0,此时x=ln,由x>0得到参数a的取值范围为a<

5、-3.答案 C二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2012·济南三模)曲线y=ex+x2在点(0,1)处的切线方程为________.解析 y′=ex+2x,∴所求切线的斜率为e0+2×0=1,∴切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.答案 x-y+1=08.(2012·枣庄市高三一模)dx=________.解析 dx表示圆x2+y2=4中阴影部分的面积的大小,易知∠AOB=,OC=1,∴dx=S△OBC+S扇形AOB=×1×+××22=+.答案 +9.(2012·泉州模拟)若函数f(x)=x-a+

6、lnx(a为常数)在定义域上是增函数,则实数a的取值范围是________.解析 ∵f(x)=x-a+lnx在(0,+∞)上是增函数,∴f′(x)=1-≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤2+.而2+≥2=4,当且仅当=,即x=1时等号成立,∴a≤4.答案 (-∞,4]三、解答题(每小题12分,共36分)10.(2012·泉州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R).(1)若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值;(2)若对任意a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增,求b的最

7、小值.解析 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,则⇒或.当时,f′(x)=3x2+8x-11,Δ=64+132>0,所以函数有极值点;当时,f′(x)=3(x-1)2≥0,所以函数无极值点.则b的值为-11.(2)解法一 f′(x)=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立,则F(a)=2xa+3x2+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立.∵x≥0,F(a)在a∈[-4,+∞)单调递增或为常数函数,所以得F(a)min=F(-4)=-8x+3x2+b≥0对任意的x∈[

8、0,2]恒成立,即b≥(-3x2+8x)max,又-3x2+8x=-32+≤,当x=时,(-3x2+8x)max=,得b≥,所以b的最小值为.解法二 f′(x)=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立,即b≥-3x2-2ax对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立,即b≥(-3x2-2ax)max,令F(

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