中值定理与导数的应用2(终

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1、★★4.求下列函数的最大值、最小值：（1）；（2）；（3）；（4）。知识点：导数的应用。思路：求函数在闭区间上最值的基本方法是先求的点或者不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是在该闭区间上的最大值，最小的即是在该闭区间上的最小值。解：（1）在上令，得，；∵，，，，∴比较可得的最小值为，最大值为。（2）在上，令，得，；∵，，，，∴比较可得的最小值为，最大值为。（3）在上，，得；∵，，，∴比较可得的最小值为，最大值为。（4）在上令，得；∵，，，∴比较可得的最小值为，最大值为。★★★5.求下列数列的最大项：（1）；（2）。知识点：导数的应用

2、。思路：求数列的最大项最小项问题可转化为求函数在区间内的最值问题；若为在区间内的最小值点，则与中最小的一个为数列中的最小项；若为在区间内的最大值点，则与中最大的一个为数列中的最大项。解：设，则在区间内，令，得唯一驻点；由，得，（或者说：当时，；当时，）∴为在区间内唯一的极大值点，也是最大值点；∵，，且，∴当时，取得最大项。（2）设，则在区间内，令，得唯一驻点；当时，有，当时，有，∴为在区间内唯一的极大值点，也是最大值点；∵，，且，∴当时，取得最大项。★★6.从一个边长为的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方

3、块，才能使盒子的容量最大？图3-5-6知识点：求最值问题。思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，在某个区间内可导且只有一个驻点，且是函数的极值点，则当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值；在某个区间内可导且只有一个驻点，且在该区间上确实存在最值，则就是在该区间上的最值。解：设截去的小正方形的边长为，则根据题意，得，；令，得（舍去），；∵，∴可得，当一个边长为的正方形的四角上截去一块边长为的小方块，才能使盒子的容量最大。★★7.欲制造一个容积为的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？解：

4、设圆柱形容器的底为，高为，则表面积，又，∴得，令，得唯一的驻点；又由，知，∴为的极小值点，也是最小值点；∴当，时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。★★★8.从一块半径为的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图）容积为最大？解：设漏斗的半径为，高为，容积为，根据题意，得，，从而有；令，得（舍去），（舍去），；∵漏斗的最大容积确实存在，即最大值确实存在，又的驻点唯一，∴时，取得最大值，即当切去圆心角为的扇形时，余下的部分卷成的漏斗容积最大。★★★9.设有重量为的物体，置于水平面上，受力的作用而开始移动（见图），设磨擦系数，问力与水平线的交

5、角为多少时，才可使力的大小为最小？解：根据题意，得，从而有，即，令，则由，得在内唯一的驻点；∵，，且∴力与水平线的交角时，才可使力的大小为最小。★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点处挂一重量为的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图），如果杠杆的线密度为，求最省力的杆长。解：设杠杆长为，则根据题意和力的平衡关系，得，即；令，得唯一的驻点；∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长时最省力。图3-5-8图3-5-90.1m图3-5-10图3-5-11★★★★11.光源的光线射到平面镜的哪一点再反射到点，光线所走的路径最短（见图）？解：设入射点为，则所走的路程令，得在区间

6、内的唯一驻点，∵最短的距离确实存在，∴当入射点在上的点为时，光源的光线所走的路径最短；容易验证，此时入射角（记为）等于反射角（记为），即，此为著名的光的反射定律。★★★★12.甲船以每小时里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北里处以每小时里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解：设两船的距离为，且经过小时两船距离最近，则根据题意得令，得在区间内唯一的驻点；∵两船最短的距离确实存在，∴时，取得最小值，即经过小时后两船距离最近。内容概要名称主要内容（3.6）3.6函数图形的描绘渐近线的概念：1）水平渐近线：若函数的定义域是无穷区间，且，则称直线为曲线的水平渐近线；2）铅直

7、渐近线：若函数在处间断，且，则称直线为曲线的铅直渐近线；3）斜渐近线：设函数，若，则称为的斜渐近线，其中。注：若不存在，或虽然它存在但不存在，则不存在斜渐近线。函数图形描绘的步骤：1）确定函数的定义域，求出函数的一阶导数和二阶导数；2）求出和的全部零点，的间断点，和不存在的点；用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间；3）确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点；4）确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势；5）算出和的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并