信号的功率谱密度

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1、第4章随机信号与线性系统第4章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室chenming@seu.edu.cn-108-第4章随机信号与线性系统随机过程和随机信号的概念随机过程随机信号当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。-108-第4章随机信号与线性系统4.1随机信号的功率谱密度-108-第4章随机信号与线性系统确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。对于确定性信号，其Fourier变换可以反映其频谱特性。-108-第4章随机信号与线性系统Fourier分解

2、的物理意义分解各种频率成份的振动-108-第4章随机信号与线性系统频谱与光谱进行对比-108-第4章随机信号与线性系统如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。-108-第4章随机信号与线性系统4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度若是一个定义于上的连续时间随机过程，则上的平均功率为-108-第4章随机信号与线性系统利用Fourier变换的Parseval等式，可以得到在上的平均功率为从上式可以看出，下式所定义的关于频率的函数-108-第

3、4章随机信号与线性系统反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数为连续时间随机过程的功率谱密度。-108-第4章随机信号与线性系统功率谱密度的性质性质4.1设是定义于上的连续时间随机过程，是其功率谱密度，则有如下性质：①功率谱密度在上的积分为信号总功率，也即。②,也即是一个非负实函数。-108-第4章随机信号与线性系统①实随机信号的功率谱密度是偶函数图4.1实随机信号的功率谱密度是非负偶函数-108-第4章随机信号与线性系统对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin定理定理4.1(W

4、iener-Khinchin定理)若为上的宽平稳过程，且其自相关函数满足，则有-108-第4章随机信号与线性系统证明由功率谱密度的定义式知-108-第4章随机信号与线性系统如图4.2所示，对积分区域作变换-108-第4章随机信号与线性系统，则-108-第4章随机信号与线性系统于是定理得证。-108-第4章随机信号与线性系统对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier变换，因此由Fourier逆变换公式有-108-第4章随机信号与线性系统所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一

5、确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为若为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即，则-108-第4章随机信号与线性系统例4.1试求Poisson随机电报过程的功率谱密度。解由习题2B-73可知，Poisson随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为，其中是信号平均传输速率。由Wiener-Khinchin定理知其功率谱密度为-108-第4章随机信号与线性系统例4.2设是定义在上的实随机过程，其功率谱密度为。则的解析过程的

6、功率谱密度为其中为Heavyside函数。-108-第4章随机信号与线性系统解由习题3B-39和例3.29知，的自相关函数为对其作Fourier变换，由知-108-第4章随机信号与线性系统所以，解析过程没有负功率谱密度。例4.3试求随机相位余弦信号的功率谱密度，其中是上的均匀分布。-108-第4章随机信号与线性系统解由例2.72知，为平稳过程，且其自相关函数为则其功率谱密度为-108-第4章随机信号与线性系统其中，用到了常数的Fourier变换是函数的性质。由此可见，随机相位余弦信号的功率集中于频点。-108

7、-第4章随机信号与线性系统例4.4(白噪声过程)如图4.3所示，若宽平稳随机过程的功率谱密度在任意频点上是常数，即，则称为白噪声过程,由Wiener-Khinchin定理知其自相关函数为若宽平稳随机过程的功率谱密度为-108-第4章随机信号与线性系统其中为某个正常数，则称为带限白噪声过程。该过程的平均功率为自相关函数为-108-第4章随机信号与线性系统由上式可见，当时，和互相正交。图4.3白噪声和带限白噪声的功率谱密度-108-第4章随机信号与线性系统互功率谱若和是两个随机过程，和随机信号功率谱密度的定义类似

8、，可以定义和的互功率谱密度为和Wiener-Khinchin定理的证明类似，若-108-第4章随机信号与线性系统和为两个联合宽平稳的随机过程，且，则有式中，为和的互相关函数。-108-第4章随机信号与线性系统此外，还可以证明互功率谱密度具有以下性质。性质4.2①-108-第4章随机信号与线性系统②。证明作为练习。例4.5设和是两个联合宽平稳过程，试给出的功率谱密度。解的自相关函数为-108-第4章随