利用导数求函数的极值

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1、函数专题（导数内容为主）彬县范公中学张登峰一、利用导数定义的求解例1．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：　　（1）；（2）　　解：（1）　　（2）二、利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：1．；2．3.解：函数定义域为R．令，得或．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在（0，2）上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值．2．∴8令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当或时，，∴函数在和上是增函数．∴当和时，函数有极小值0，当时，函数有极大值．解：3．解法

2、一：可看成复合而成．解法二：解法三：，三、根据函数的极值确定参数的值例已知在时取得极值，且．（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：1．解法一：．是函数的极值点，∴是方程，即的两根，由根与系数的关系，得8又，∴，（3）由（1）、（2）、（3）解得．解法二：由得，（1）（2）又，∴，（3）解（1）、（2）、（3）得．2．，∴当或时，，当时，∴函数在和上是增函数，在（－1，1）上是减函数．∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．四、利用导数求函数的单调区间例求下

3、列函数的单调区间：1．；2．；3．解：1．函数的定义域为R，令，得或．∴函数的单调递增区间为（－1，0）和；令，得或，∴函数的单调递减区间为和（0，1）．2．函数定义域为令，得．∴函数的递增区间为（0，1）；令，得，∴函数的单调递减区间为（1，2）．83．函数定义域为令，得或．∴函数的单调递增区间为和；令，得且，∴函数的单调递减区间是和．五、求解析式并根据单调性确定参数例已知，且（1）设，求的解析式；（2）设，试问：是否存在实数，使在内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．解：1．由题意得，，∴∴2．．若满

4、足条件的存在，则∵函数在内是减函数，∴当时，，即对于恒成立．∴∴，解得．又函数在（－1，0）上是增函数，∴当时，即对于恒成立，∴∴，解得．故当时，在上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．8六、判断函数在给定区间上的单调性例函数在区间上是（）A．增函数，且B．减函数，且C．增函数，且D．减函数，且分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性．解：解法一：令，且，则，排除A、B．由复合函数的性质可知，u在上为减函数．又亦为减函数，故在上为增函数，排除D，选C．解

5、法二：利用导数法（），故y在上是增函数．由解法一知．所以选C．练习：1.已知函数的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解：（1）由过的切线方程为：①②而过8故∵③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴（2）当又在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。依题意在[－2，1]上恒有≥0，即①当；②当；③当综上所述，参数b的取值

6、范围是七、利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题导数是是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如，+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解。一、有关三次方程根的问题：对的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根，然后转化为，再展开，应用待定系数法即可求出。再对求根得解。如；但大多数三次方程的根不易猜出，这时

7、我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例1、方程的实根的个数是（）、3、2、1、08分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令=则==当或时0为增函数当时为减函数==013故的极大值在轴的下方，如图1，即的图象与轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选。例2、已知函数在上是增函数，在上是减函数，若恰有一解，求实数的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区

8、间，初步得出的范围。又据恰有一解，即函数值对应惟一值。可先由单调性画出草图，然后数形结合分析求解。解：函数在上是增函数，在上是减函数由得，，得由题意0即①又在和上递增，在上递减。如图2（图2）在的值域为即据图2可知，若恰有一解，只需得结合①的a、b、c，即8八、求两变量乘积的最大值例已知为正实数，且满足关系式，求的最大值．分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将表示为某一变量（x或y或其它变量）的函