圆柱坐标系下的分离变量法

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1、5．圆柱坐标系下的分离变量法5．1极坐标系下的拉普拉斯方程考虑半径为的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布。上述定解问题可表述为（5.1.1a）(5.1.1b)其中，表示圆盘的边界，即，表示围成的内域。对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如，，，但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为（5.1.2）从而（5.1.1）定解问题可改写成(5.1.3a)(5

2、.1.3b)注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱问题，也称第边值问题。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则称相应的定解问题为牛曼问题，也称第Ⅱ边值条件。若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾问题。此外，本题研究内域182中的温度，通常称为内问题。实际应用中，可能遇到求圆形孔洞外围的温度场或电势场分布问题，通常称为外问题。现在回到求解形如（5.1.3）的定解问题上来。我们沿用在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题的思想，设（5.1.4）代入（5.1.3a）得两边同除以（为非零解）得由于等式左边是关于的函数，右边是

3、关于的函数，从而只能有左边=右边=常数设这个常数为，则得到两个常微分方程（5.1.5）和（5.1.6a）或者（5.1.6b）如同在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题一样，我们将首先构造与定解问题相应的特征值问题，通过求解特征值问题得到平方可积函数空间中的一组完备正交函数系，再将解按完备正交函数系展开，最终得到级数形式的解表达式。为此，首先考虑方程（5.1.6b）附加特定边界条件构成特征值问题的可能性。方程（5.1.6b）为2阶欧拉方程，定解条件需要2个，但(5.1.3)中仅提供1个。考虑到温度在内处应为有限值，补充定解条件如下(5.1.7)从而可分离出(5.1.8)182但

4、从处的边界条件中无法分离出关于的边界条件。从而无法由方程（5.1.6b）构造特征值问题。现在转而考虑由方程（5.1.5）构造特征值问题。方程（5.1.5）是2阶常微分方程，其定解问题也需要2个，但（5.1.3）中并没有提供关于的任何信息，但深入考虑本问题的特点后，应该有（5.1.9a）（5.1.9b）因为和表示同一点。形如（5.1.9）的条件称为周期性条件。有界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）在原定解问题（5.1.3）中都没有被明确提出。但原定解问题（5.1.3）是关于和的2阶偏微分方程定解问题，其定解条件应该有4个。除处的边界条件外，还应该有3个定解条件。有

5、界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）正好是在原定解问题中没有被明确提出的3个定解条件，他们或者由问题的物理性质决定，或者由区域的几何性质决定。像这样由问题的物理性质决定，或者由区域的几何性质决定，而无需在定解问题中明确提出的边界条件，通常称为自然边界条件。自然边界条件是隐含在定解问题本身之中的边界条件。由周期性条件（5.1.9）可进一步分离出(5.1.10a)(5.1.10b)它们与方程(5.1.5)一起构成特征值问题。方程(5.1.5)的通解为(5.1.11)注意到(5.1.10)中的周期为，故即特征值(5.1.12)相应的非平凡解为(5.1.13)由于和是线

6、性无关的，所以特征值是2重简并的（除外），182即每一个特征值对应有2个线性无关的特征函数和。所有正交函数组成函数空间完备正交函数系。现在将代入（5.1.6b），求解欧拉方程（5.1.15）（1）当时，（5.1.16）（2）当时，令则原欧拉方程（5.1.15）化成从而（5.1.17）综合式（5.1.16）和（5.1.17）得欧拉方程（5.1.15）通解（5.1.18）将和代入（5.1.4）得（5.1.19）由于给定方程（5.1.3a182）是线性齐次方程，满足叠加原理，故定解问题的解可表示为（5.1.20）其中，待定系数,,，，，由边界条件确定。由处的有界性条件知（5.1.

7、21）（5.1.22）再由处的边界条件知（5.1.23）上式可看成是关于完备正交函数系的广义傅立叶展开式从而对于温度场分布的狄里克莱外问题（5.1.24a）(5.1.24b)其求解过程与狄里克莱内问题类似。首先补充自然边界条件1）同期性条件(5.1.25a)(5.1.25b)1821）有界性条件，对于外问题，除边界外，另一边界是。一般应根据具体物理问题，对物理量在处提出适当的边界条件，对于恒定温度分布问题。由于温度不可能无限升高，故可提有界性条件如下，（5.1.26）其次求解特征值问题（5.1.27）得特征值和特征