微分方程和差分方程

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1、第一章线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题。一个一维粒子，初始时刻处于点，初始速度为，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。解：用表示粒子在任意时刻的位置，根据牛顿第二定律，有对于阻尼作用，于是，粒子的运动方程这是关于时间t的常微分方程，非常简单。求解得结合初始条件，，则，代入得粒子的运动轨迹这就是这门课程的第二部分——数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。1.1常系数齐次线性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，

2、就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项。例如u=4uxx;二阶线性，x2u=uxx;二阶线性，(ux)2+u2=1;一阶非线性。一、二阶常系数齐次线性微分方程求解二阶线性微分方程若为齐次，为非齐次。方程y¢¢+py¢+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数。能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r2+pr+q)erx=0由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解。特征

3、方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程。特征方程的两个根r1、r2为特征方程的根与通解：(1)特征方程的实根r1、r2不相等时,函数、是方程的两个线性无关的解，方程的通解为.(2)特征方程的实根r1=r2时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解，方程的通解为(3)特征方程有一对共轭复根r1,2=a±ib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解。函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解，方程的通解为y=e

4、ax(c1cosbx+c2sinbx).例1求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解。例2求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y

5、x=0=4、y¢

6、x=0=-2的特解。例3求微分方程y¢¢-2y¢+5y=0的通解。二、线性微分方程的解的叠加(1)定理1如果函数y1(x)和y2(x)是方程(1)的两个解，那么它们的线性叠加也是方程的解，其中和是任意常数。定理2如果函数y1(x)和y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加是方程的通解。推论如果函数y1(x),y2(x),…,yn(x)是阶线性齐次方程的n个线性无关的解，则是

7、方程的通解，其中c1,c2,…,cn为n个任意常数。(2)定理3如果二阶非齐次线性方程（2）的一个特解，y1(x)和y2(x)是对应齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加是方程(2)的通解。定理4如果和分别是二阶非齐次线性方程，的特解，那么是方程的特解。1.2常系数非齐次线性微分方程二阶非齐次方程一、待定系数法对于特殊类型的f(x)，可写出特解y*(x)的待定表达式：f(x)类型特解y*(x)的待定表达式aemxAemxacosbx+bsinbxAcosbx+Bsinbxa1xk+a2xk−1+...+akx+ak+1A1xk+

8、A2xk−1+...+Akx+Ak+1emx(acosbx+bsinbx)emx(Acosbx+Bsinbx)emx(a1xk+a2xk−1+...+akx+ak+1)emx(A1xk+A2xk−1+...+Akx+Ak+1)如果m,±bi,0,m±bi,m是特征方程的r重根，则在表达式上再乘以xr。例1求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一个特解。例2求微分方程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解。二、常数变易法一阶非齐次线性微分方程相应齐次方程的通解是设非齐次方程有一个特解由于，代入非齐次方程，可得，解得因此，常数变易法得非齐次方程的

9、通解为类似的方法考察二阶非齐次方程相应齐次方程的通解为设非齐次方程有一个特解由于，若附加条件，则代入非齐次方程，可得所以，系数c1(x),c2(x)满足方程组：例二阶线性微分方程齐次方程的通解常数变易法设特解为其中C1(t)和C2(t)满足解得则1.3变系数线性微分方程一、欧拉型常微分方程形如的方程叫欧拉方程。下面是一个后面课程会遇到的一个欧拉型方程的求解。作变量代换，，则，即，即则例1.求欧拉型方程的通解。答案：通解为。二、常点邻域上的级数解法（证明见李政道《物理学中的数学方法》P280-284）不失一般性，讨论复变函数w(z)的线性二阶常微

10、分方程显然，方程的性质由函数p(z)和q(z)所确定。定义：如果在点z=z0处，函数p(z)和q(z)解析，则z=z0称为方程的常点，否则，z=z0称