[理学]《线性代数》魏_黄习题解

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1、LSF,5/9/2007线性代数魏福义,黄燕苹主编−北京:中国农业出版社,2003.2(ISBN7109-08058-7)习题解(缺习题六题解)06学年第二学期复习题:习题一:4,5,6,7(4),10,11,13,14,15(1),16(3)(4),18,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29习题二:1(3),2(2),3(3),4,5(3),6,7,8,9,10,11,12习题三:4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16习题四:1(2)(3),2,3,4,5,6,7,8,9,10(1)(2),11,12,

2、13,14,15,16,17习题五:1(2),3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17习题七:自己挑选一些题,写出matlab语句.7.15必做.这是题文这是题解这是注释习题一1.1设,求及.1.2计算下列乘积(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)1.3设,,问下列各式是否成立?(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)1.4讨论下列命题是否正确:(1)若,则;(2)若,则或;(3)若且,则.(1)不对.反例:,但.(2)不对.反例:设,则且,但.(3)不对.反例:设,,,则有且,但..1.

3、5计算:(1),(2),(3)(1)(2)(3)1.6设方阵满足矩阵方程,证明及都可逆,并求及.由得,故可逆,且.由也可得或,故可逆,且.1.7(4)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)可知.(5)(6)1.10设,求.解.求得,于是.1.11设,其中,求.1.12设,(1)证明;(2)设，证明(1)(2)1.13计算下列行列式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.14证明下列等式(1)=(a－b)3(2)=(1－x2)(3)=[x+(n－1)a](x－a)

4、n-1(1)(2)证法二(3)=1.15用克拉默法则解下列方程组:(1)(2)(1)计算得因为系数行列式,所以方程组有唯一解.(2)计算得因为系数行列式,所以方程组有唯一解.1.16求下列方阵的逆阵(1);(2);(3);(4);(1)套用公式,得.(2)套用上述公式,得.(3)得.(4)得.1.17．解下列矩阵方程(1)(2)(3)(1)(2)(3)1.18设是阶矩阵,为其转置伴随矩阵,证明:(1)若,则(2).(1)设,则.如果的第一行元素全为零,则,于是.假设的第一行元素不全为零,例如,作如下行初等变换,得.现,因此.(2)一般地,,但.于是.从

5、而,若,立刻得到.而若,由(1)知仍成立.1.19设,利用分块矩阵的乘法,计算.1.20若,证明:..1.21(选择题)设A,B为n阶方阵,则成立.(A)(B)(C)(D)(A)的反例:,除非.(B)的反例:若,则.(D)的反例:.(C)是成立的,因为.1.22设阶方阵的转置伴随矩阵为且,求.或1.23设为阶方阵,,求证可逆,并写出逆矩阵的表达式.可逆,且.1.24设分块阵,其中可逆,求.解.验算.OK1.25设A为m阶方阵,B为n阶方阵,detA=a,detB=b,C=,求detC.利用拉普拉斯定理:(定理1.8)在n阶行列式中任取k行(列),则由

6、这k行(列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和,等于行列式的值.在中取所在的行,所得的阶子式只有一个不等于零,就是.而的余子式是,代数余子式是,其中注意到是偶数.于是.1.26设,求.注:矩阵或不要用行列式符号:利用第24题的结论1.27计算下列n阶行列式(1)(2)(3)(1)同第14(3)题.(2)(2)按第一列展开(3)1.28设均为阶方阵且,求.注:.1.29设为阶非奇异(可逆)矩阵,其转置伴随阵为(或),求或习题二2.1讨论下列向量组的线性相关性(1)(2)(3)(4)(1)可见,故向量组线性相关.(2)可见,故向量组线性无

7、关.(3)可见,故向量组线性相关.(4)可见,故向量组线性相关.解法二现有个维,,所以给出的向量组线性相关.P53推论2.１任意个维向量线性相关.2.2求下列矩阵的秩(1)(2)(3)(1)可见秩.(2)可见秩.或(3)2.3求解下列齐次线性方程组(1);(2)(3)(1)对方程组的系数矩阵作行初等变换得简化行阶梯形(Reducedrowechelonform,RREF).对应的同解方程组为,方程组的解为.(2)对方程组的系数矩阵作行初等变换,方程组有唯一零解.(3)对方程组的系数矩阵作行初等变换得2.4求一个齐次线性方程组使他的基础解系为由题意,齐次

8、线性方程组的通解为,或.从中消去,得即为所求.解法二:设所求的齐次线性方程组为将分别代入方程组