泰勒公式的证明及应用

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1、乐山师范学院毕业论文（设计）一．摘要……………………………………………………3前言……………………………………………………3      二、 泰勒公式极其极其证明…………………………...3                         （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式………………3（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式……………4（三）带有柯西型余项的泰勒公式…………………5（四）积分型泰勒公式………………………………………6（五）二元函数的泰勒公式…………………………………..7三、  泰勒公式的若干应用…………………………8（一）利用泰勒公式求极限…………………

2、………8（二）利用泰勒公式求高阶导数……………………9（三）利用泰勒公式判断敛散性……………………10（四）利用泰勒公式证明中值定理…………………12（五）利用泰勒公式证明不等式……………………13（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计……………15（七）利用泰勒公式研究函数的极值…………………16四、我对泰勒公式的认识……………………………16参考文献………………………………………………17英文翻译…………………………………………………1715乐山师范学院毕业论文（设计）公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很

3、广泛的运用。在现代数学中公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法【关键词】泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项极限级数1、常见公式定义及其证明我们通常所见的公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的公式和高阶函数的公式。定义：设函数存在n阶导数，由这些导数构成n次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数

4、。1.1首先是带皮亚诺型余项的公式：若函数在点存在且有阶导数，则有即.(2)其中是由这些导数构造的一个次多项式，（3）称为函数在点处的多项式，的各项系数称为系数。从上易知与其多项式在点15乐山师范学院毕业论文（设计）有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即，.（4）证明：设，，现在只要证由关系式（4）可知，并易知，因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到称为公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项，所以（2）式又称为带有皮亚诺型余项的公式。1.2其次是带有拉格朗日型余项的公式：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函

5、数，则对任意给定的，，至少存在一点，使得（1）15乐山师范学院毕业论文（设计）证明：作辅助函数所需证明的（1）式即为或不妨设，则与在上连续，在内可导，且，又因，所以由柯西中值定理证得，其中。它的余项为，称为拉格朗日余项。所以（1）式又称为带有拉格朗日型余项的公式。1.3柯西型公式：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，使得（5）15乐山师范学院毕业论文（设计）证明：作辅助函数应用柯西中值定理可得，存在，使得令即可得到（5）式。1.4积分型公式：如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数,则当x在内时,可表示为的一个次多项式与一个余项之

6、和:其中证明：由公式得：即……从而有15乐山师范学院毕业论文（设计）……其中1.5二元函数的公式：若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内的任一点，存在相应的，使得（6）（6）式称为二元函数在点的阶公式，其中证明：作辅助函数由定理的假设，一元函数在上满足一元函数定理条件，于是有（7）应用复合函数求导法则，可求得的各阶导数：15乐山师范学院毕业论文（设计）当时，则有（8）及（9）将（8），（9）式代入（7）式就得到了公式（6）。2、公式的应用：求极限、求高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值2.1求极限例1、求极限解：

7、又，将用公式展开则2.2求高阶导数例2、设，求。分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在处的麦克劳林展开式。解：　　　　　　（１０）15乐山师范学院毕业论文（设计）　　又在处的麦克劳林展开式为　　（１１）　　　　比较（１０），（１１）中的系数可得，　　　　　，由展开的唯一性，并有公式的各项系数则可得到高阶导数，即。在高阶倒数的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的对其进行展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便。2．3判断敛散性例3、讨论级数，的敛散性。解：，于是当时，级数收敛，当时，级数发散。例4、设在点的某一邻域内有