流体质量守恒——连续性方程

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1、流体质量守恒——连续性方程冶金机械www.yejinye.com根据流体的连续介质模型，可以认为流体流动时连续地充满整个冶金机械流动空间，不存在任何空隙。若在一段流道中没有流体的分流和汇入，这段流动可称为连续流动，用数学方程来表述连续流动条件下的质量守恒定律称为流动的连续性方程，它是质量守恒定律在流体运动中的体现。流体运动中的质量守恒是指流体流过一定空间流体的总质量保持不变。这有两种可能：(1)对一定的流动空间而言，流入的流体质量等于流出的流体质量，即空间内没有流体的质量积累：[流体的流入量]=[流体的流出量](2)对一定的流动空间而言，流体的流入量与流出量不相等，其差值为该流动空

2、间的流体质量积累：[流体的流入量]-[流体的流出量]"[流体的积累量]前者属于稳定流动，后者则属于不稳定流动。在直角坐标系下，从流场中取一边长分别为dx，dy，dz的微元六面体，如图1-2-19所示，其顶角A的坐标为(x，y，z)，顶角A处的流速u在三个坐标轴方向的分量分别为u$，uy和uz。图1-2-19连续性方程推导示意图先讨论x轴方向的质量平衡。单位时间内由微元体的左侧面流入的流体质量为p+xdydz，由微元体右侧面流出的流体质量为！+$+—!$dxdydz。则单位时间内沿x方向的质量积累为：nn(!ux)n1nn(!ux)nnnpuxdydz-!Ux,^"dxdydz=-

3、^"x~dxdydz同理，沿y，z轴方向的质量积累分别为：-^^dxdydz和-^^dxdydz。则该微元体在"y"z单位时间内总的质量积累为：「（!UX)(puv)(pu2,-[!x+!y+!z]y而微元体内的质量积累表现为流体的密度随时间的变化，单位时间内积累在微元体内的流体质量为：璧dxdydz式中，"!为单位时间单位体积的质量变量。因此，有"t3!!!f((pux)(pu¥)((puz)lnnn忒dxdydz=-[^^++]dxdydz艮p细+(puz2+(puy)+(Puz)=Q(1-2-57)t$yz写成向量形式为璧+▽•(!!)=◦(1-2-57a)式中，▽称为哈密顿

4、算子，在直角坐标系下表示为：!="i+"j+"4。哈密顿算子具有"x"y"z微分性和矢量性双重性质。式（1-2-57)即为流体流动的通用连续性方程。由于推导过程没有任何假设，因此它对稳定流动与不稳定流动、理想流体与实际流体、可压缩流体与不可压缩流体、牛顿流体与非牛顿流体都适用。将式(1-2-57)的后面三项展开，可得到连续性方程的另一种表达形式为：!u+x9t"!xUx!x'u*!"+u+!z:!y!z由欧拉流场表示法知，密度"可表示为空间坐标和时间的函数，即(1-2-58)P:_((x，y，z，t)密度p的全微分可写成：dp=^^dt-3tdt+!dx+!dy■!x!y+!dz!

5、z(1-2-59)或写成全导数的形式：!e:!pdx+!pdy,!pdz(1-2-60)dt"!t+!xdt!ydt!zdt式中，和表示观测者的运动速度在三个坐标轴方向的分量。当观测者的速度与流dtdtdt体的流动速度完全相同时，则有dxdt=dy(x，dt_Uy，dzdt_(z。因此，有D".Dt'_!"+_!t+!p(x!x!p+Uy!y—!p"Uz!z(1-2-60a)式中，胃表示密度随时间的变化率，它不仅与空间和时间有关，而且与流体的流速有关。物理学上将这种追随流体运动的导数称为随体导数，也称“拉格朗日”导数，记为：DDt!t+Ux!X+U*(z!z(1-2-61)随体导数

6、由区域导数！和对流导数Ux!t两部分组成，前者表示空间的一个固定点处物理量随时间的变化，后者表示流体质点由一处运动到另一处时物理量的变化。!!t即为密度的区域导数，（U)!)+%!*+&!)则为密度的对流导数。因此，连续性方程又可用随体导数改写为:D"(!()!(z)Dt+"!x+!y+!z写成向量形式即为：DpDt)(!•()=0对稳定流动，!■!t)，式(1-2-57)变成!x!y若流体为不可压缩流体，即p为常数，则!z!uz9uy!uz—+—+—!x!y!z(1-2-62)(1-2-62a)(1-2-63)(1-2-64)其向量形式为：2.u=0(1-2-64a)式(1-2-

7、64)即不可压缩流体稳定流动的连续性方程。对于工程中常见的管流，连续性方程可简化为一维流动问题。设管轴为x方向（图1-2-20)，则Uy=0，u2=0。对稳定流动，式(1-2-63)简化为d(puxdx：0将上式对整个管区截面进行积分，dJfu^dA%0同一截面上，可视为常数，上式即为又由平均流速的定义，1u#dAA知故亦即式中C——常数。或将式(1-2-65)写成d*(Ju#dA)%0u#dA%'A」A羞(pvA)=0"vA=C"1v1A1="2v2A2::"vA