空间向量在立体几何中的应用(2)

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1、空间向量在立体几何中的应用传统的立体几何课程重视公理化体系，强调用综合法处理，长久以来学生在这种训练下形成较强的逻辑推理、论证的能力。吴文俊先生在《数学教育现代化问题》指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数…对于几何，对于研究几何形式，你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法，当然欧几里德漂亮的定理有的是，漂亮的证明也有的是…”向量是数与形的完美结合体，在处理立体几何种角和距离问题时非常有用。一、空间里角的向量求法空间中各种角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是难点，借

2、助于向量的夹角公式可以很方便的避开寻找角的过程，而是通过对向量夹角的计算来实现。夹角公式：设则现以近几年的高考题来分析这个公式在求解异面直线所成角及二面角的平面角问题中的应用。⒈异面直线所成角的计算问题求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量和，通过求这两个向量的夹角得出异面直线所成角例1（2006广东卷）如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.⑴求直线BD与EF所成的角解：以O为原点，BC

3、、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为方法小结：空间向量在解决异面直线所成角的计算时，通常要先建立空间直角坐标系，然后利用计算出两个向量的坐标在带入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是，而异面直线所成角的范围确是，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值。⒉关于二面角的二面角的计算二面角的计算可以采用平面的

4、法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解。最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角。例2（2005年福建卷）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；解：以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形

5、AEB中,AB=2,O为AB的中点∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0),∴cos()=∴二面角B-AC-E的大小为arccos.方法小结：借助平面的法向量求解二面角的平面角时，一定要注意判断法向量间的方向。二、空间里距离的计算借助向量求解距离主要有两种方法，通过距离公式或者向来能够的正投影。⑴设，则⑵如图，点A到平面a的距

6、离等于a的斜线段AB在a的法向量上的正射影长，即：d＝A1B1＝；⑶a、b为异面直线，，若bÌa，a∥a，为a的向量，A1、B1分别为a、b上两点在上的正射影，则a、b的距离d＝A1B1＝例3（03年高考试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.GDDA1C1B1CBKxyzAE解（Ⅰ）如图所

7、示，建立坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G()，∵，，，∴a＝1，，∵为平面ABD的法向量，且∴A1B与平面ABD所成角是（即）.（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)，设A1在平面AED上的射影为K(m，n，p)，则，∵A1K⊥DE，A1K⊥AE，∴，即∵A1K为平面AED的法向量，且，∴点A1到平面AED的距离.以上依托于平面的法向量给出的解法

8、十分简捷，解题的关键是先确定与问题相关的平面及其法向量.如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量.空间向量在解决空间中角和距离计算时有着得天独厚的条件。在应用的过程中要注意的是对角计算要判断向量间的方向，对于平面需准确的计算出平面的法向量。