空间向量在立体几何中的应用(4)

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1、空间向量在立体几何中的应用（例题讲解）基本知识点直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为（若只涉及一个平面，则用表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。81、平行问题（结合图象，直观感觉）1）线线平行2）线面平行3）面面平行2、垂直问题（结合图象，直观感觉）1）线线垂直2）线面垂直3）面面垂直83、夹角问题1）异面直线所成的角（范围：）2）线面角（范围：），3）二面角（范围：）84、距离问题1）点A到点B的距离：2）点A到线l的距离在直线上任取点，，3）点A到面的距离在平面上任取点4）异面直线间间的

2、距离在直线上任取点，在直线上任取点向量与异面直线的方向向量都垂直5）直线到平面的距离在直线上任取一点，转化为点A到面的距离6）平面到平面的距离在平面上任取一点，转化为点A到面的距离典例训练例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。1）求异面直线与所成角的大小；2）求证：异面直线与垂直；83）求直线与面所成角的大小。例2、已知四棱锥的底面为直角梯形，AB//CD，，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点。1）证明：平面PAD平面PCD2）求AC与PB所成的角余弦值的大小

3、3）求平面AMC与平面BMC所成二面角余弦值的大小8例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。（1）在棱上是否存在一点M，使平面，为什么？（2）在正方体表面上是否存在点N，使平面，为什么？例4、如图所示，在直三棱柱中，（1）求三棱柱的体积；（2）求证（3）若是的中点，在棱上是否存在一点，使，证明你的结论8例5、已知棱长为1的正方体E，F分别是和中点.（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求点到平面BDFE的距离；（3）求直线到平面BDFE所成的角.例6、如图，是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱的中点.（

4、1）求证：平面平面；（2）求点C到平面的距离；（3）求平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.8例7、（2007浙江卷理）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．（I）求证：；（II）求与平面所成的角．例8、（2008浙江卷理）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？8例9、（2009浙江卷理）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（I）设是

5、的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．例10、（2009宁夏海南卷理）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。8例11、（2009江西卷理）在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.点为的中点，于点.（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的大小

6、；（3）求点到平面的距离.例12、（2009重庆卷理）如图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：（Ⅰ）点到平面的距离；（Ⅱ）二面角的大小．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8