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1、第八章矢量算法与场论初步·张量算法与黎曼几何初步本章包括两个部分.第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去.第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具
2、来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.§1矢量算法一、矢量代数［矢量概念］只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．
3、在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小，用端点的顺序AB表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作，或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号或
4、a
5、表示.矢量按其效能可分成三种基本类型：具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢
6、量.模等于1的矢量称为单位矢量.模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量.模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作-a.始点与原点O重合而终点位于一点M的矢量(图8.1)称为点M的矢径(或向径)，记作r，原点称为极点.如果M的直角坐标为x，y，z,则有r＝＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk式中i，j，k分别为x轴，y轴，z轴的正向单位矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).［矢量的基本公式］名称公式图形矢量a的坐标表示坐标单位矢量i，j，k的坐标表示零矢量的坐标表示a的长度(或模)a的方向余弦(,,为a的方
7、向角)矢量(两端点A，Ｂ的坐标分别为(ax,ay,az),(bx,by,bz)a＝axi＋ayj＋azk＝(ax,ay,az)i＝(１，０，０)j＝(０，１，０)k＝(０，０，１)0＝(０，０，０)(0无方向)=a＝＝(bx－ax)i＋(by－ay)j＋(bz－az)k［加法］若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则a＋b=(ax＋bx,ay＋by,az＋bz)把矢量的始点移到原点O，以a，b为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a＋b(称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢
8、量即为和矢量a+b(称为三角形法则，见图８.3).加法运算适合如下规律：(交换律)(结合律)a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０［减法］若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则a－b＝(ax－bx，ay－by，az－bz)把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b(图8.4).对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：
9、a＋b
10、
11、a
12、＋
13、b
14、［数乘］以实数乘矢量a称为数乘，记作a.当>０时，a的模伸缩倍，方向保持不变；当<０时，a的模伸缩
15、
16、倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(ax,ay,az)则a＝(ax,ay,a
17、z)设，为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合下列规律：(a)＝()a(结合律)(＋)a＝a＋a(分配律)(a＋b)＝a＋b(分配律)［矢量的分解］1设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则c＝+=a＋b这称为矢量c对a，b的分解.2设a，b，c为非共面矢量，而d为任一矢量，把它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或延长线)分别
18、交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则d＝++＝a＋b＋称为矢量d对a，b，c的分解.3如果两个非零矢量a与b有线性关系a＋b＝０式中,不全为0，则称这两个矢量共线(即a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.4设a,
