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1、第九章重积分与曲线积分讲授内容：§9.1二重积分的概念与性质教学目的与要求：1、理解曲顶柱体的概念，二重积分的定义和几何意义．2、熟练掌握二重积分的几何意义和性质的应用．3、了解二重积分的对称性定理．教学重难点：重点——二重积分的定义及性质的应用．难点——二重积分的对称性定理的应用．教学方法:讲授法教学建议：1、借助几何图形引入曲顶柱体的概念，同时引入二重积分的定义．2、借助几何图形讲清二重积分的涵义及二重积分的对称性的实质．学时：2学时教学过程：在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，将这种极限的概念推广到定义
2、在区域上的多元函数的情形，便得到了重积分．一、曲顶柱体的体积1．定义：设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。2．求曲顶柱体的体积：(1)用任意一组曲线网将区域分成个小区域第九章第30页,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体。（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)从而(将化整为零)(2)由于连续,
3、对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是(以不变之高代替变高,求的近似值)(3)整个曲顶柱体的体积近似值为(积零为整,得曲顶柱体体积之近似值)(4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为,则第九章第30页(取极限让近似值向精确值转化)二、二重积分的定义1．定义：设是闭区域上的有界函数,将区域分成n个
4、小区域,其中:既表示第个小区域,也表示它的面积,表示它的直径。作乘积作和式若极限存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作。即其中:称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素,称之为积分变量,称之为积分区域,称之为积分和式。第九章第30页2．几个事实(1)二重积分的存在定理若在闭区域上连续,则在上的二重积分存在。声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2)中的面积元素象征着积分和式中的。由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外
5、,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为。(3)、几何意义：若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体体积的负值。若f(x,y)在D上有正,有负,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体体积的代数和.三、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1．线性性第九章第30页其中:是常数。2．对区域的可加性若区域分为两个部分区域,则3．若在上,,为区域的面积,则几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4．若在上,,
6、则有不等式特别地,由于，有5．估值不等式设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则6．二重积分的中值定理设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得例1．估计二重积分的值,是圆域。解:求被积函数f(x,y)=x2+4y2+9在区域上可能的最值第九章第30页是驻点,且；在边界上,,,作业布置于是有例2．设域是，则（）．解：关于轴对称，关于为奇函数，则,4例3．设是，，，则、、的大小顺序如何？解：在上，，，由此得.作业：高等数学C类练习册习题四十八教学后记：第九章第30页教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高
7、等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.第九章第30页讲授内容：§9.2二重积分的计算教学目的与要求：1.区分区域的四种类型，掌握它们之间的关系．2.熟练掌握二重积分的两种计算方法：直角坐标法和极坐标法．3.了解将二重积分化为二次积分的过程．4.掌握区域的对称性与被积函数的奇偶性对二重积分的影响．5.掌握二重积分中直角坐标转化为极坐标，并学会选
8、取适当的坐标系来计算二重积分．教学重难点：重点——计算二重积分的方法和特点难点——利用极坐标计算二重积分及对称性的应用．教学方法:讲授法教学建议：借助几何图形分析二重积分化为二次积分的过程．学时：2学时教学过程:利用二重积分的定义来计
