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《数学建模之狼追击兔子的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、案例：狼追击兔子的问题 1.1 狼追击兔子问题的建模1.1.1 问题重述与分析狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。1.1.2 变量说明：兔子的速度（单位：码/秒）：狼与兔子速度的倍数
2、；：狼的速度（单位：码/秒），显然有：狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），Q：表示在时刻t时，兔子的坐标P：表示在时刻t时，狼子的坐标 1.1.3 模型假设1、1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为。 1.1.4 模型建立（一）建模准备以t＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；则显然有兔子位置的横坐标。对狼来说，当x＝100，y＝0，
3、即在t＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向，则有 （二）建立模型1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截据为。设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为 （1）在（1）中，令X＝0，则截据。此时。 则此时截据等于兔子所跑过的路程，即：，从而可得（2）2、狼与兔子速度关系的建模在t时刻，兔子跑过的路程为（3）由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为 （4） 狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。（5）联立（2）、（4）、（5）得 （6）对（6）两边求对x的导数，化简得（7）微分方程（7
4、）式的初始条件有： 3、是否追上的判断要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。对（7）式，当x＝0，如果计算求解得到，则视为没有追上；当x＝0，如果计算求解得到，则视为兔子被追上； 1.1.5 模型求解由微分方程得到其Matlab函数functionyy=odefunlt(x,y)%以狼在追击过程中的横坐标为自变量yy(1,1)=y(2);yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x); 主程序： tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x坐标为自变量y0=[00];%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之
5、间的距离[T,Y]=ode45('odefunlt',tspan,y0);n=size(Y,1);disp('狼的坐标(x=0.1)')disp(Y(n,1))%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标 1.1.6 模型结果与分析运行结果： 狼的坐标(x=0.1)62.1932 通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。 1.1.7 思考题通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？ （一）解决思路可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进
6、行模拟，然后从模拟结果获取。模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：functionsim_langtu%《狼兔追击问题》%（离散模拟）%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程 Q=[00];%兔子坐标P=[1000];%狼坐标PQ=Q-P;%狼兔方向向量 step=1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确 count=60/step;%以兔子的奔跑距离划分 PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量 trackP=P;trackQ=Q;fork=1:count;P=P+2*PQ;%2倍速
7、度Q=Q+step*[01];%[01]为兔子奔跑方向的单位方向向量PQ=Q-P;trackP(1+k,:)=P;trackQ(1+k,:)=Q;PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量dis=sqrt(sum((P-Q).^2));plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+');pause(0.5)end%fordis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离P%兔子到达窝边时，狼的坐标Q%兔子到达窝边时，兔子的坐标 （二）模拟程序运行结果 dis=7.0619 P=1.680553
