2、-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2D答案D 由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.2.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x-1)2+(y-1)2=8B答案B 直径的两端点分别为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.3.
3、圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2 B.C.1 D.D答案D 由题意知圆的圆心是(1,-2),圆心到直线x-y=1的距离为==.4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案(x-2)2+y2=10解析易得线段AB的中垂线方程为2x-y-4=0,与x轴的交点坐标为(2,0),即为圆心C的坐标,所以半径为
4、CB
5、=,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.5.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(-2,-4),半径是
6、5.答案(-2,-4);5解析方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,亦即+(y+1)2=-,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5.考点一 求圆的方程考点突破典例1(1)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为;(2)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.
7、答案(1)+y2=(2)(x-2)2+(y-1)2=10解析(1)由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=,所以圆心坐标为,则半径r=4-=.故该圆的标准方程为+y2=.(2)解法一:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心为C(a,b),则解得∴C(2,1),∴半径r=
8、CA
9、= =,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.解法二:设圆的方程为(x-a)2
10、+(y-b)2=r2(r>0),则解得∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.方法技巧常见的求圆的方程的方法:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法.如果给定的条件易求圆心坐标和半径长,那么选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,那么常选用一般方程求解.1-1已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为(x-2)2+y2=9.答案(x-2)2+y2=9解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意可得解得所以圆C
11、的方程为(x-2)2+y2=9.典例2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.考点二 与圆有关的最值问题解析(1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆.设=k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有=,解得k=±,故的最大值为,最小值为-.(2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时=,解得b=-2±,所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.(3)x2+y2表示圆上
12、一点与原点距离的平方,由
