《微积分基本公式》word版

《《微积分基本公式》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第五章定积分第二讲　微积分基本公式教学目的1．掌握积分上限函数的求导方法及其应用；2．熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式．教学重点积分上限函数求导及牛顿－莱布尼兹公式．教学难点积分上限函数的应用．教学时数2学时教学过程在第一节中，我们举过应用定积分定义计算积分的例子．从这个例子我们看到，被积函数虽然是简单的二次幂函数，但直接按定义来计算它的定积分已经不是很容易的事．如果被积函数是其他复杂的函数，其困难就更大了．因此，我们必须寻求计算定积分的新方法．下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索．为此，我们对变速直线

2、运动中遇到的位置函数及速度函数之间的联系作进一步的研究．一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系有一物体在一直线上运动．在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴．设时刻时物体所在位置为，速度为．(为了讨论方便起见，可以设．)从第一节知道：物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数在区间上增量来表达．由此可见，位置函数与速度函数之间有如下关系：．(1)因为，即位置函数是速度函数的原函数，所以关系式(1)表示，速度函数在区间上的定积分等

3、于的原函数在区间上的增量：．上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将在第三目中证明，如果函数在区间上连续，那么，在区间上的定积分就等于的原函数(设为)在区间上的增量：．二、积分上限的函数及其导数设函数在区间上连续，并且设为上的一点．现在我们来考察在部分区间上的定积分．首先，由于在区间上仍旧连续，因此这个定积分存在．这时，既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用表示，则上面的

4、定积分可以写成如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记作：这个函数具有下面定理1所指出的重要性质．定理1　如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数是　　　　　(2)证若，设获得增量，其绝对值足够地小，使得，则在处的函数值为．由此得函数的增量再应用积分中值定理，即有等式．这里，在与之间．把上式两端各除以，得函数增量与自变量增量的比值由于假设在上连续，而时，，因此．于是令，对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于．这就是说，

5、函数的导数存在，并且．若，取，则同理可证；若，取，则同理可证．证毕．这个定理指出了一个重要结论：连续函数取变上限的定积分然后求导，其结果还原为函数本身．联想到原函数的定义，就可以从定理1推知是连续函数的一个原函数．因此，我们引出如下的原函数的存在定理．定理2如果函数在区间上连续，则函数(3)就是在上的一个连续原函数．这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系．因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分．三、牛顿－莱布尼兹公式现在我们

6、根据定理2来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式．定理3如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则．(4)证已知函数是连续函数的一个原函数，又根据定理2知道，积分上限函数也是的一个原函数．于是这两个原函数之差在上必定是某个常数，即．(5)在上式中令，得．又由的定义式(3)及上节积分的补充规定(1)可知，因此，．以代入(5)式中的，以代入(5)式中的，可得．在上式中令，就得到所要证明的公式(4)．由上节定积分的补充规定(2)可知，(4)式对的情形同样成立．为了方便起见，以后把记成．公式(4

7、)叫做牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibniz)公式．这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系．它表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一原函数在区间上的增量．这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续．通常也把公式(4)叫做微积分基本公式．下面我们举几个应用公式(4)来计算定积分的简单例子．例1计算第一节中的定积分．解由于是的一个原函数，所以按牛顿－莱布尼兹公式，有．例2计算．解由于是的一个原函数，所以．例3计算．解当时，的一个原函数是

8、，所以．通过例3，我们应该特别注意：公式(4)中的函数必须是在该积分区间上的原函数．例4计算正弦曲线在上与轴所围成的平面图形的面积．解这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积．例5汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以等加速度刹车．问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间．设开始刹车时刻为，此时汽车速度．刹车后汽车减速行驶，其速度为．当汽车停住时，速度，故从解得．于是在这段时间内，汽车所驶过的距离为，