算术漫谈算术漫谈

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1、算术漫谈算术漫谈　　【摘要】以异因合数为分母的真分数，化为循环小数，循环节的位数为其中各因数循环节位数的最小公倍数.以n位全1数为分母的真分数，化为循环小数j=n；若为合数，则n是各因数循环节位数的最小公倍数.《n》中至少有一个或多个质数j=n.欲求j=10（位）的质数，就去分解《10》.　　【关键词】全9数；全1数；剩余数　　一道算题，重视它的答案正确与否，永远没错，但如果对它的浑身上下细致加以剖析，将会发现它和其他数学问题有着千丝万缕的联系，从中可以丰富我们的数学知识.活题就从17化为小数开始吧：17≈0.1429（四舍五

2、入）.17=0.1?42857?（化为纯循环小数），或1÷7=0.142857……0.000001（有余数除法），7除尽了1-0.000001=0.999999.0.999999×1000000=999999，999999÷7=142857，7是质数，循环节是六位，为偶数位循环，7能整除6位全9数，（为叙述方便，下面特称各位都是9的数为n位全9数，大于1位各位都是1的数为n位全1数.为书写方便，特引入记号《n》，表示n位全1数，设j代表循环节位数5个字；n表示循环节位数，即j=n，【某数的循环节】是指以某数为分母的真分数、化为

3、循环小数、循环节的位数的简语.以下同）从而可以导出凡6位数码相同的数，均能被7整除.三组两位两位数码相同的数，如：111111÷11×36=363636，以及前三位与后三位数码相同的数，如：111111÷111×4437=437437，也均能被7整除.113=0.0?76923?，j=6，所以上述各数也均能被13整除.　　141=0.0?2439?.j=5，是奇位循环，99999÷41=2439.41能整除5位全9数，也能整除5位数码都相同的数.　　设p为除2，5以外的所有质数.设1p化为循环小数j=n，则n位全9数，n位全1

4、数等均能被p整除.当n为偶数时，前n2位与后n2位完全相同的数也均能被p整除.这些能被p整除的数，都可以为我们所用，如：判断33743能否被41整除？因141=0.0?2439?，j=5，33333能被41整除.33743-33333=410，410能被41整除，?33743也能被41整除.再如：123448能否被13整除？因113=0.0?76923?，j=6，为偶数位循环，所以123448-123123=448-123=325，325÷13=25，123448能被13整除.　　17=0.1?42857?，27=0.2?85

5、714?=0.1?42857?×2，37=0.4?28571?=1?42857?×3……　　999999不仅能被7和13整除，它还能被9和142857整除，观察这些数字的关系，可悟出循环小数化为分数的方法，142857÷142857999999÷142857=17，285714÷142857999999÷142857=27，428571÷142857999999÷142857=37……或：999999÷7=142857，142857999999=17.方法是：循环小数的数值为分子，循环小数是几位，再以几位全9数为分母，然后化简

6、.将0.27化为分数，2799=311.　　上面悟出了纯循环小数化为分数的方法，下面还可以从144=0.0227悟出混循环小数化为分数的方法：1÷44=0.0227……0.0012，44除尽了1-0.0012=0.9988，9988÷444=227.再看，0.022?7?，两位不循环，两位循环，而9900能保证被44整除（44=11×4，判断某数能否被4整除，只要末两位能被4整除，该数就能被4整除.判断某数能否被11整除，由低位到高位两位两位分节，各节之和能被11整除，该数就能被11整除），9900÷44=225，227-22

7、5=2，但9988-9900=88，88÷44=2，227-225=2，所以227-29900=2259900=144.　　混循环小数化为分数的方法是：分子为混循环小数的数值，减去不循环部分的数值.分母为循环部分是几位就先写几个9，不循环部分是几位再在9的后面写几个0，然后化简.　　附课本上的推导方法：（各介绍两种推导方法）　　一、由0.0?27?推导纯循环小数化分数的方法设分数为1x，1x=0.0?27?，1x=0.027……11000，1=0.027x+11000，1-0.001=0.999，x=0.9990.027，将x

8、值代入所设分数，10.9990.027=0.0270.999=27999=137.　　二、由13=0.3?推导纯循环小数化分数的方法　　13=0.3?，13=0.33333……，0.33333……=310+3100+31000……　　整十整百相乘，在1的后面写上因数0的和数就