例谈“变化率”

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1、例谈“变化率”　　　　　　　　(1.北京林业大学理学院北京100083)　　(2.张家口市第一中学河北张家口075000)　　　　在众多的物理量之间的关系中，有一类普遍而重要的关系，即某物理量对于另一物理量的变化率是一个新的物理量.例如：位移对时间的变化率是速度；速度对时间的变化率是加速度；对单匝线圈，电动势等于磁通变化率；等等.变化率的几何意义是，函数曲线在某点的切线的斜率.　　近年来，随着导数知识纳入高中数学教材，对物理量“变化率”的理解与应用，已成为物理高考命题的热点.同时由于高中物理教材的局限，在多个知识点

2、上，对相关物理量之间存在的“变化率”关系，并没有明确阐述，从而造成学生高考的难点.因此有必要在高三物理总复习中，对下列知识点从“变化率”的角度加深理解，提高解决问题的能力.　　1电流是电量随时间的变化率　　对电容器充放电电路来说，电流i=ΔqΔt.　　又由Δq=CΔu,　　所以i=CΔuΔt.6　　例1(2013年高考新课标Ⅰ卷试题)如图1，两条平行导轨所在平面与水平地面夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属

3、棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：　　(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；　　(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系.　　解(1)设金属棒m以速度v下滑时，感应电动势E=BLv.电容器两极板间电压U=E；电容器极板上积累的电荷量：q=CU,所以q=CBLv.　　(2)金属棒m受重力mg；　　支持力N=mgcosθ；　　滑动摩擦力f=μmgcosθ；　　安培力F=B

4、li作用，做加速运动.由牛顿第二定律　　mgsinθ-μmgcosθ-BLi=ma(1)　　又因为i=ΔqΔt=CΔuΔt,　　且Δu=BLΔv,　　所以i=CBLΔvΔt=CBLa(2)　　(2)式代入(1)式整理得　　a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2(3)　　由(3)式可见金属棒沿斜面向下做匀加速直线运动，　　所以v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2t.6　　上述解题过程的关键是找出回路中的电流、电压与金属棒运动的速度、加速度之间的关系，而电流i=ΔqΔt,则是关节点与突破口.　　2电场强度

5、是电势随空间的变化率　　高中物理教材给出了匀强电场中电场强度E与电势差U的关系：E=Ud.实际上这一关系可以推广到非匀强电场，对任意静电场有　　E=-dφdlcosθ,　　式中dφ=φ2-φ1，为相距十分临近的两点间的电势差；dl为这两点间的距离；θ为这两点连线方向与等势面法线方向的夹角；负号表示电场强度E的方向与电势梯度方向相反.　　特殊地，当电场强度方向沿x轴时，在x轴上相距十分临近的两点间的距离为Δx，这两点间的电势差为Δφ，则电场强度的大小为：E=ΔφΔx.可见，电场强度是电势随空间的变化率，电势随空间变化

6、的快慢反映了电场强度的大小，电场强度的方向指向电势降落最快的方向.　　例2(2009年江苏高考题)空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图2所示，x轴上两点B、C的电场强度x方向上的分量分别是EB、EC，下列说法中正确的有　　A.EB的大小大于EC的大小　　B.EB的方向沿x轴正方向　　C.电荷在O点受到的电场力x方向上的分量最大　　D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功　　解根据电势与电场强度的关系可知，图象上某点切线斜率的绝对值，等于这一点的场强沿x轴方向分量的大小，即Ex=ΔφΔx=

7、ta

8、nθ

9、，其中6θ为图象上某点切线与x轴正方向间的夹角.在图上做出B、C两点的切线，可见B点的切线斜率绝对值大于C点的切线斜率绝对值，即“EB的大小大于EC的大小”，所以A正确.同时，可以根据电场强度的方向是电势降落最快的方向，判断出EB方向沿x轴负方向，EC方向沿x轴正方向，B错误.　　在O点的切线斜率等于零，所以电荷在O点受到的电场力x方向上的分量为零，C错误.　　在O点左侧，电场沿x轴分量的方向为x轴负方向；在O点右侧，电场沿x轴分量的方向为x轴正方向.所以：“负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后

10、做负功”，D正确.　　例3(2010年江苏高考题)空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图3所示.下列说法中正确的是　　A.O点的电势最低　　B.x2点的电势最高　　C.x1和-x1两点的电势相等　　D.x1和x3两点的电势相等　　解图象关于原点中心对称，说明电场强度E是沿x轴对称分布的，电场线以O点为中心指向正、负方向，沿电场线电势降落