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《5-5-6中国剩余定理及余数性质拓展教师版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题(1)趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？"答曰：“二十三。"此类问题我们可以称为“物不知其数"类型，又被称为“韩信点兵"。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一
2、万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3,得9948(人)。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。(2)趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知
3、其数''问题(即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？)时用四句诗槪括岀这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知.”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为"中国剩余定理"(ChineseRemainderTheorem^),是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤：是说除以3所得的余数用70乘.是说除以5所得的余数用21乘.是说除以7所得的余数用15乘.是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数.三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正
4、月半，除百零五便得知，此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求.也就是2x70+3x21+2x15=233,233-105=128,128-105=23为什么70,21,15,105有此神奇效用？70,21,15,105是从何而来？先看70,21,15,105的性质：70被3除余1,被5,7整除，所以70q是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数，因此21b是被5
5、除余b,被3与7整除的数；同理15c是被7除余c,被3、5整除的数，105是3,5,7的最小公倍数.也就是说，70d+2M+15c是被3除余a,被5除余伉被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数.了解了“剩余定理''的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答.二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3,5
6、,7后，得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。先由5x7=35,即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2,不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个,，倍数35x2=70是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：2x70+3x21+2x45土灿3,5,7]=233-刈3,5,7],其中£是自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，
7、如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，刃F么我彳门可以计算2><70+3><21+2><45—2><[3,5,7]=23得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数二我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。模块一、余数性质综合【例1】一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是o【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】除以3余2的数有：2、5、8、11、14除以5余1的数有：
8、1、6、11、16、21
