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《2012年北约自主招生数学试题（共享word版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2()12年北约自主招生数学试题1、求兀的取值范围使得/(%)=x+2+x+x-l是增函数;2、求Jjc+ll—67^7+Jx+27—10丿兀+2二1的实数根的个数;3、已知(，一2兀+加)(兀2一2兀+〃)二0的4个根组成首项为丄的等差数列，^m-n44、如果锐角ABC的外接圆的圆心为0,求O到三角形三边的距离Z比;5、已知点A(-2,0),3(2,0),若点C是岡，一2兀+于=()上的动点，求MfiC
2、dl积的最小值。6、在12・：2012屮取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数?7^求使彳导sin4xs
3、in2x-sinxsin3x=a在［0，兀）有卩隹一解hjd；8.求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为止五边形;9、求证：対于任意的止整数斤，（1+厲）"必可表示成+的形式，其中56N+2012年自主招生北约联考数学试题解答1.求忑的范围使得I®+2
4、+x
5、+
6、工一是增函数.解答.分别讨论工在(一X.—2).[-2・())・[()・l)・[l・oo)中时，去扌卓绝对值.易知⑦20即可.■2.求/匸一11一6“〒2—/r一27-1("一2=1的实根的个数.解答•注意到I//Z+11-6厶一2=2+2)-2・3・x/x+2-3
7、2=/(血+2-3尸=3—/刀+2Yx十27一1()血+2=/@+2)_2・5•+評/=「［/工+2+5严=
8、5—血+2
9、面
10、5—声巨
11、+
12、3—/齐环》2>1,所以原方程无实数解.■3.已知(z2—2®+加)(严-4-n)=0的4个根组成首项为?的等差数列，求解答•注意到两个方程的一次项系釵相同,所以由韦达定理有甘项与末项之和为2.因此末项为2-=t，这样可具碍公差为d=于是4个银为冷这样丄如果锐角^ABC的外接圆圆心为O,求O到三角形三边的距离比.解答•役容易计算比例为cosA:cosB:cosC,如呆是纯甬三角形应
13、该加上绝对值.5.已知点.4(-2.0)./?(()・2),若点C是圆F-2工+沪=o上的动点，求^ABC面积的最小值.解答•由歎形绪合知当OC垂直.莒(否则利円絆边大于直角边,两点之间线段置短推矛盾几因为直线的方程为工为1-0--23—Q“+2=(),所以O到AB的距离弋，于是△遊面积林卜值为$屈冇6.在1.2.....2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？解答.<1.2.….2012分成(1.2,3).4.5.6),・・・.(2008,2(X)9.2010),(2011.2012)这671姐・如
14、果取至少672个数，則有抽屉原理必然有2个数属于同一组.不妨设为a>b,则a—b=1・2・当a—b=1时，此讨a—b整陰a—h,不合要求;当a—b=2时，此幷a.b同专偶，彷以ai为偶数，从而a-b整除a+b,不合要求.因此董多取6刀个戟，现在飯1.4.7.•-・.2011这6刀个敦，此时任两救之壮徐以3约舍数为2,面两数之差是3的倍数，所以任意两数之和不能建其差整除.综上所述，最多能取677个数.7.求使得sin4zsin'lx—sinzsin3x=o住!（）.tt）厲唯一解的a.解答.设/(z=sin4z^in2x—sinx<
15、iu3r=(cos-If—cos(iz)显战关于/=-对称，因此f(x)=a在［0・7T)有唯一解的话，必然只能在x=0.J时.当x=0为解时，此时a=0z方程化为sinxsin5x=()在［()・r)不止一脾,故.舍去.当丁=壬为解时，此时口=I,方程f匕为sinjsinor=1・因为在］)・tt)上sinj20z所以只能是sin2*=1.siu5z=1异卩工=才为呛■一解.综上所述，d=l・°■8.求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形.证明•没这个五边外为ABCDE，令直riAE.CD交于点G,連结」C・因为LA
16、ED=乙EDC,所以乙GED=ZGDE•又因为A.C.D.E四点共圆，所氏ZG.4C=ZFDG=乙GED，所以DE平行于CD,AE=BC.BC=DE.DE=AB,于是AB=BC=CD=DE=DA,即五边形ABCDE为正五边形.■注记.括上图后最后一页出现颜色退化问逐，不明原因，图比较简单，索性不插国了.■7.求证：对任意的正整数n,(1-血卩必可表示成莎一/^T的形式,其中sWN+・仃—辺卩一仃一/^n证明.构造数列an=-——''*——,则逆用特征很法知an^2=2a“+i—°讥・«i=1,«2=3,Vne,于是｛an｝为正
17、整数列•另外，注意到(1+v2)2n-(l-v/2)2n2(1+血严T=«2n-hl+/a2n4-l+】同理可综上所述'命题得证.
