2011中考冲刺数学专题2——探索型问题1

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1、2011中考冲刺数学专题2——探索型问题【备考点睛】探索型问题是指那些条件不完备、结论不明确、或答案不唯一、给学生留有鮫大探索余地的试题。从最近儿年來屮考屮探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是屮考命题“孜孜以求的目标”。探索型问题一般有两类：(1)探索条件的开放题；(2)探索结论的开放题。探索型问题的特点：(1)题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提卜，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯-，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；(2)结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给

2、出结论，要求在给定的前提条件卜，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；【经典例题】类型一条件开放型问题例题1・(2010福建宁德)如图，四边形ABCD是正方形，是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到3N,连接EN、AM.CM.(1)求证：HAMB竺HENB；⑵①当M点在何处时，AM+CM的值授小；②当必点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；⑶当AM+BM+CM的最小值为JJ+1吋，求正方形的边长.解答：UY：ABE是等边三角形，・・・B4=BE,ZMBE=60°.•:ZMBN=G0°,・・・ZMBN-乙ABN=AABE-

3、乙ABN.即ZBMA=/NBE.EW又•:MB=NB,；:.HAMBUHENB(SAS).d.⑵①当M点落在加的中点吋，AM+CM的值最小f②如图，连接CE,当M点位于与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小.理由如下：连接MV由⑴知，HAMB3HENB,:,AM=EN.VZMBN=60a,MB=NB,・•・HBMN是等边三角形.:.BM=MN.:.AM+BM+CM=EN+MN+CM.根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短・••当M点位于3D与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EFA.BC交CB的延长线于F,・•・ZEBF=90

4、°-60°=30°.设正方形的边长为x,则亦=返兀，EF=-・22在RtAFFC'l1,•••eF+fGec2,/.（）2+（£x+x）「（VJ+lj.解得，x=4i（舍去负值）.・••正方形的边长为逅.例题2.如图，四边形ABCD是平行四边形.O是对和线/C的中点，过点O的直线EF分别交力3、DC于点E、F,与CB、血）的延长线分别交于点G、H.（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；（2）除AB=CD,AD=BC,OA=OC这三对相等的线段外，图中还冇多对相等的线段，请选出其中一对加以证明.解答：分析：考察了相似的两种基本图形，平行四边形小利用全等三角形的简单证明

5、.（1）A4EH与'DFH.（或AAEH与厶BEG,或ABEG与ACFG，或DFH与'CFG）（2）OE=OF.证明：•••四边形ABCD是平行四边形，・•・AB〃CD、AO=CO:.ZEAO=乙FCO,•・・ZAOE=ZCOF,・・・△AOE9△COF,・・・OE=OF.例题3.（2010甘肃）如图，抛物线与x轴交于/（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,一3）,设抛物线的顶点为（1）求该抛物线的解析式与顶点D的处标；（2）以3、C、Q为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点尸，使得以卩、A.C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指

6、出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解答:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由抛物线与y轴交于点C(0,—3),可知c=-3.即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3.a-b-3=0,9a+3b—3=0・把/(-1,0)、B(3,0)代入，得解得a=,b=-2・・・・抛物线的解析式为y=?-2x-3.・・・顶点D的坐标为(1-4).(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.理由如F:过点D分別作兀轴、夕轴的垂线，垂足分别为E、F.在Rt^BOC中，在R心CDF中，在Rt/XBDE中，・・・BC2+CD2OB二3,003,:.BC2

7、=18.DF=,CF二OF-OC=4・3=1,.・.CD2DE二4,BE二OB-OE=3J=2,.・.BD2=BD2,故△BCD为总角三角形.(3)连接MC,可知心ZXCO/sR仏BCD,得符合条件的点为O(0,0).过力作力戸丄/C交y轴正半轴于A,可知川△C/RsR込COAsRABCD,求得符合条件的点为A(o,g).过C作CP2丄/C交X轴正半轴于A,可知Rt/XPiCA^心△CO/sR込BCD,求得符合条件的点为P2(9,0).・••符合条件的点有三个：O(0,0),呂