奥数：第六讲平均数问题

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1、第六讲平均数问题　　求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。　　平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。　　解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。　　一、算术平均数　　例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？　　分析求4个杯子水面的平均高度，就相当

2、于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。　　解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）　　答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。　　例2蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？　　分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法

3、求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。　　解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分）　　②语文：89-10=79（分）　　③政治：86×2-89＝83（分）　　④数学：91.5×2-83＝100（分）　　⑤生物：89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）　　答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。　　二、加权平均数　　例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千

4、克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？　　分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。　　解：①什锦糖的总价：　　4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）　　②什锦糖的总千克数：2＋3＋5＝10（千克）　　③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）　　答：混合后的什锦糖每千克5.74元。　　我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千

5、克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。　　例4甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？　　分析此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉

6、田的亩数，即“权数”。　　解：①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？　　（203-185）×5=90（斤）　　②乙棉田有几亩？　　90÷（185-170）=6（亩）　　答：乙棉田有6亩。　　三、连续数平均问题　　我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。　　例5已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。　　分析已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第

7、三项之和……即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。　　解：①每组数之和：144÷4=36　　②中间两个数中较大的一个：（36＋2）÷2＝19　　③中间两个数中较小的一个：19-2=17　　∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。　　答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、17、19、21、23和25。　　四、调和平均数　　例6一个运动员进行爬山训练.从A地出发，上山路长11千米，每小时行

8、4.4千米.爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行5.5千米.求这位运动员上山、下山的平均速度。　　分析这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。　　解：①上山时间：11÷4.4=2.5（小时）　　②下山时间：11÷5.5=2（小时）　　　　　　五、基准数平均数　　例7中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为9