奥数：四级奥数.杂题.抽屉原理（c级）.学生版

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1、抽屉原理知识框架一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义一般

2、情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．例题精讲一、直接利用公式进行解题【例1】“六一”儿童节，很多小朋

3、友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。【例1】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目．【例1】

4、把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17．【巩固】圆周上有个点，在其上任意地标上（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）．证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于【例1】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．【巩固】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上．证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边．【例1】自制的一幅玩具牌共计52张(含4种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有

5、1点、2点、……、13点牌各一张)。洗好后背面朝上放好。一次至少抽取____张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)。那么至少要取___张牌。【巩固】一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？一、构造抽屉【例1】从、、、、、这个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有个数的和是？【巩固】证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【例1】从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取个数，能使这些数中任意两个数的差都不等

6、于9．【巩固】从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这些数种没有两数的差是5的倍数．【例1】从、、、、、、、、、、和中至多选出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍．【巩固】从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．【例2】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【巩固】从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.【例1】在边长为3的正三角形内，任意放入10

7、个点，求证：必有两个点的距离不大于1．【巩固】边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.一、最不利原则【例1】一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：⑴至少有5张牌的花色相同；⑵四种花色的牌都有；⑶至少有3张牌是红桃．(4)至少有2张梅花和3张红桃．【巩固】一副扑克牌共54张，其中点各有4张，还有两张王牌，至少要取出____张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同。课堂检测【随练1】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形．证明：一定有一个三角形三边的

8、颜色相同．【随练1】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数