奥数：四级奥数.计数综合.排列组合（c级）.学生版

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1、排列组合考试要求1.了解排列、组合的意义2.明白排列和组合的联系与区别3.掌握排列和组合的常用解题方法。4.会分析排列组合与其他专题的综合应用，培养学生的逻辑思维能力。知识结构一、排列与组合在生产生活中，常常用到排列与组合，尤其在计算机研究中。(一)排列（1）从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．（2）一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一

2、列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．(二)组合（1）从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．．这个公式就是组合数公式．（2）一般地，组合数有下面的重要性质：()。这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法

3、恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．（3）规定，．一、排列与组合的联系与区别联系：所有的排列都可以看做是先取组合，再做全排列；同样组合再补充一个阶段（排列）可转化为排列问题。区别：从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．二、排列组合问题常用解法（1）捆绑与插空相邻问题用捆绑法，将题目中规定相邻的若干个元素捆绑成一个组，当做一个元素参与排列；相离问题用插空法，先将无位置要求的几个元素全排列，再把要求相

4、离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。（2）插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：a)个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中

5、放上个插板，所以分法的数目为．b)个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．a)个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．（1）特殊优先法特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。（2）分步法（3）排除法对于一些限制条件过多的题目，可以运用正难则反的思想先求出所有情况，再减去不符合要求的情况，求得结果。

6、（4）构造模型法一些不易理解的排列组合问题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决。（5）分解与合成法（6）利用对应思想转化法重难点（1）捆绑与插空.（2）构造模型法.例题精讲应用【例1】名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【巩固】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一

7、排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排．【例1】一只兔子沿着方格的边从A到B，规定上只能往上或者往右走，但是必须经过一座独木桥MN，这只兔子有多少种不同的走法？插板法【例2】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？【巩固】将个相同的苹果放到个不同的盘子里，允许有盘子空着。

8、一共有种不同的放法。【例1】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【例2】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?【巩固】有10粒糖，每天至少吃一