奥数：五级奥数.几何.包含与排除和旋转对称（a级）.学生版

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1、包含与排除和旋转对称课前预习铅球比赛场地有人参加过铅球比赛么？有谁知道铅球的比赛场地是什么样子的？如何才能画一个标准的铅球比赛场地呢？铅球的比赛场地是一个扇形的比赛场地，上面有环形的尺度，下面介绍一种铅球比赛场地的画法。在学校运动会、小型比赛及体育教学中，铅球场地往往都被安排在远离径赛场地的“偏僻角落里”。其一，是为了安全；其二，是为了保护塑胶场地；其三，是铅球比赛需要土质场地或草皮。铅球场地的传统画法是：先用测绳测量，再用标枪沿测绳划出痕迹，后用白灰浇出白线。而往往“偏僻角落里”的场地质地较差，高洼不平，杂草丛生，即使勉强画

2、上白线，也模糊不清、参差不齐、宽窄不一。况且在比赛过程中，人为踩踏，器械砸击、风吹雨淋，使角度线、远度线和延长线变得更加模糊，裁判员需经常描画，给裁判工作带来诸多不便。本人在实际教学、裁判工作中摸索出一种用白布条（或白塑料编织材料）代替白灰绘制比赛场地的方法。第一：材料与制作用白布裁剪、缝制成宽5厘米、厚3—4层的白布条，长度可根据比赛的组别，及实际情况而定，可剪短，可接长。第二：具体画法把白布条沿用测绳已测量好的角度线、远度线和延长线拉直且相吻合，用长铁钉钉地固定两端，再沿白布条的两边缘每隔1—2米用铁钉交错钉牢，用醒目的颜

3、色在白布条上注明远度数字。第三：延用此法可延用于其他田赛项目的比赛场地、以及径赛项目的起点、终点和弯直道交接线的绘制。第四：备用比赛完毕后，将铁钉拔出，白布条捆扎、收藏好以备下次再用。瞧，用这法绘制比赛场地，既经济实用，避免重复测画场地，又能及时、公正、准确地测定学生和运动员的练习和比赛成绩。您不妨一试。知识框架圆的知识：1.当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O叫做这个圆的圆心.2.连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3.连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心

4、的弦叫做圆的直径.4.圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.5.圆周长=直径×π.=半径×2π圆面积=π×半径.扇形的知识：1.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.2.我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．3.扇形中的弧长=.扇形的周长=+2r.扇形的面积==.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。【一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．

5、(除了半圆)】常用方法：1.常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2.包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。3.旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算的方法。重难点重点：利用容斥原理就是重叠相减法求面积。旋转图形问题的重

6、点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。难点：利用容斥原理如何对重叠部分的面积进行正确的处理。如何利用旋转对称对所求图形进行简化。例题精讲【例1】求图中阴影部分的面积（用的式子表示）【巩固】如图，直角三角形的边长分别为6，8，10，求阴影部分的面积．(取3)【例1】图23中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？（用的式子表示）【巩固】如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．（用的式子表示）【例2】扇形AFB恰为一圆的

7、四分之一，BCDE是正方形，AFBG也是正方形，则图中阴影部分的面积是多少？（用的式子表示）【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(取3)（用的式子表示）【例1】(2008年四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，，，求阴影部分的面积．（用的式子表示）【巩固】长方形的长为10，宽为4，求图中阴影部分的面积。（取3）【例1】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴

8、影部分的面积的和是多少平方厘米.【巩固】在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，1，2，3，部分的面积和为80，张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分得面积。【例1】已知半圆所在的圆的面积为62.6平方厘米，求阴影部