奥数：第七讲几何中的计数问题（一）

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1、第七讲几何中的计数问题（一）　　几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段　　我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1数一数下列图形中各有多少条线段.　　　　分析要想

2、使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.　　第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共

3、有线段为3＋2＋1＝6条.　　第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这

4、样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.　　解：①2＋1＝3（条）.　　②3＋2＋1＝6（条）.　　③4＋3＋2＋1＝10（条）.　　小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始

5、的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.二、数角例2数出右图中总共有多

6、少个角.　　分析在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：　　4＋3＋2＋1＝10（个）.　　解：4＋3＋2＋1＝10（个）.　　小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从

7、1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.例3数一数右图中总共有多少个角？　　解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.　　所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形例4如右图中，各个图形内各有多少个三角形？　　分析可以采用类似　　例1数线段的两种方法来数，如图（2）：　　第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：　　△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.　　再数以AD为一条边的

8、三角形共有：　　△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.　　以AE为一条边的三角形共有：　　△AEF、△AEC二个三角形.　　最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.　　所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.　　第二种方法：先数图中小三角形共有：　　△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.　　再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：　　△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，　　以三个