奥数：五级奥数.数论.完全平方数的性质和应用（a级）.学生版

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1、完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝372193

2、6＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.一些重要的推

3、论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。（7）凡个

4、位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。（8）完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．3.重点公式回顾：平方差公式：重难点（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。（2）自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.（3）平方差公式：例题精讲【例1】是的平方．【巩固】123456789876

5、54321*（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）是的平方．【例1】写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数．【巩固】从1到2011中有几个有偶数个因数的整数？【例2】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。【巩固】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【例1】自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？【巩固】不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左

6、向右的第l6个数字是_________【例2】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【巩固】各位数字的平方和等于9的数共有________个．【例3】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【巩固】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【例1】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【巩固】从1到2011的所有自然数中，乘以60后不是完全平方数的数共有多少个？【例2】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数

7、的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【巩固】有3个连续自然数，它们的和为一个立方数，中间数是平方数，则这3个数中最小数的最小值为．【例3】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【巩固】一个数的完全平方有93个约数，求该数的约数个数是多少？【例1】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？课堂检测【随练1】一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【随练2】1988与正整数a的乘积是一个完全平方数，

8、则a的最小值是________．【随练3】14，144，1444，14444，……中有几个完全平方数？复习总