高考数学大一轮复习 第十四章 14_2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明试题 理 北师大版

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1、我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺第2课时　不等式的证明1．不等式证明的方法(1)比较法：①求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证

2、法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．(5)数学归

3、纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤：①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：认真组织会员学习，及时将党的路线、方针、政策，及时将新的法律和规章，传达到会员，协会编印了《会员之家》宣传资料共四期我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新

4、年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

5、α

6、

7、β

8、≥

9、α·β

10、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线

11、时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．1．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值．解　根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．∴(＋＋)2≤3.故＋＋的最大值为.3．设x

12、>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值．解　∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.∵2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立．∴min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.认真组织会员学习，及时将党的路线、方针、政策，及时将新的法律和规章，传达到会员，协会编印了《会员之家》宣传资料共四期我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺题型一　用综合法与分析法证明不等式例1　(1)已知x，y均为

13、正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.证明　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3.(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤＋＋＝

14、a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立．思维升华　用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法