浅谈发散思维在中学数学中的应用

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1、浅谈发散思维在中学数学中的应用　　摘要美国心理学家吉尔福特把发散思维定义为一种不依常规，寻求变异，从多方面寻求问题答案的思维形式。发散思维是素质教育中创造性思维的重要成份。　　关键词中学数学；素质教育；创造能力　　据现代心理学家的见解，数学家创造能力的大小和他的发散能力成正比，详细地说，任何一种科学家的创造能力可用如下公式来估计：创造能力=知识量×发散思维能力　　加强发散思维能力的训练，是培养学生创造性思维的重要环节。下面谈谈我在数学教学中培养学生发散思维的一点体会。　　一、一题多解激发“求异动机”　　用几种不同的方法解答同一题目，就是不断激发学生的“求异动机”，充分运用学生学

2、过的基础知识和基本技能，从各个不同侧面寻求解决问题的途径，这样反复训练，使学生养成发散思维的良好习惯。　　例1、求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，并且其中一个根大于a，另一个根小于a。　　证明1：将方程化为一般形式　　x2-（2a+b）x+a（a+b）-1=0　　∵△=（2a+b）2-4[a（a+b）-1]　　=b2+4>05　　∴方程有两个不相等的实数根。　　设为x1和x2，则　　如能结合二次函数的图像来看，本题的结论是十分明显的。　　证明2：设y=（x-a）（x-a-b）-1这是二次函数，其图象开口向上，由于当x=a时，y=-1<0，且抛物线开口向上，于是

3、抛物线与x轴必有两个交点，且这两个交点位于直线x=a的两侧，所以原方程有两个实数根，且一个根大于a，另一个根小于a。　　证明2的优点在于利用二次函数图象，将证明的两个步骤统一起来。　　二、“执果索因”培养逆向思维　　几何教学中“执果索因”的逆推法，即数学的分析法。从一个结果推出尽可能多的原因，根据已知条件或命题（包括图形）凭直觉选取可能的原因，直到已知条件或者命题。因此在几何教学中，用“逆推法”组织教学，是培养学生发散思维的好途径。　　例2、已知，如图，△ABC内接于⊙O1，AB=AC，⊙O2与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O1相交于点D，直线AD交⊙O2于点F，交CB

4、的延长线于点G，　　求证⑴EF∥CG；　　⑵AB×EB=DE×AG　　分析：⑴连结BD，从内错角相等，两直线平行考虑，证明∠FEB=∠ABC，可得EF∥CG，（运用等腰三角形的性质及圆内接四边形的性质可证得：∠FEB=∠FDB=∠C=∠ABC）　　⑵要证明AB×EB=DE×5AG，须证AB：DE=AG：EB，联想到AB=AC，所以必证AC：DE=AG：BE，须证：ΔACG∽ΔEDB，根据题目条件和（1）的结论，可以得：∠BDE=∠GCA，∠DBE=∠G，从而命题得证。　　三、观察分析培养独特思维　　发散思维的独特性与学生的个性特征密切相关，在教学中通过细心观察、分析、思考，对一

5、道题的独特思维方法，让学生的思维在生动活泼的气氛中得到锻炼和发展，对于有新意、有创见的学生予以鼓励，从而培养学生独特的思维能力。　　分析：从题目中若求出s，t的值均为无理数，再代入代数式求值，计算量可想而知，经过观察、分析、思考，容易发现两个等式的系数和常数有些微妙的联系，因此，可想法把它们化为系数相等的同一个方程，这样问题就简单多了。　　四、动态变化培养探索性思维　　在数学学习中，学生可从某些熟知的数学问题出发，提出若干富有探索性的新问题，并凭借自己的知识和技能去探索，从而获得新的知识和技能，逐步掌握数学方法的本质。近年来，探索性问题是中考数学的热点，也是学生的一个难点。探索

6、性题目揭示了数学知识应用的一般过程：即⑴提出问题；⑵抽象成数学模型；⑶从简单情形入手；⑷发现规律；⑸归纳猜想结论；⑹验证结论正确。　　例4、AB是⊙O中的一条长为4的弦，P是⊙O上的一个动点，COS∠APB=1/3，问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形，若不存在，试说明理由，若存在，求出这个三角形的面积。　　五、开放探究培养创新意识5　　在现实生活中，有许多问题是已知条件而未知结论或已知结论而未知条件或条件结论均已知或未知（要有）最优化的策略等。因此在教学中就要多引导学生去发现问题，探究条件，探索策略等。　　例5、如等腰梯形ABCD的两对角线交于O点，AD∥BC，可得

7、相等的线段，相等的角，全等的三角形，相似的三角形各几对？（4对，12对，3对，4对），又如已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，连结DE，在什么条件下有△ABC和△ADE这两个三角形相似？（DE∥BC或∠ADE=∠B或∠AED=∠C或■=■或■=■等）这里抓住两个三角形的公共角∠A及相似三角形的判定方法。　　六、联系实际培养应用能力　　在初中数学教学中，要增强学生应用数学的意识，使之能够运用已有知识将实际问题抽象为数学问题，建立起数学模型，从而解决问题并拓宽知识领域。应用性数学问题很