谈“平方差公式”的探索过程

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1、谈“平方差公式”的探索过程　　“平方差公式”是初中阶段所学的重要乘法公式之一，与“完全平方公式”一样，平方差公式是在学习了有理数运算、简单的代数式运算、整式的加减及整式乘法以及多项式的乘法等知识的基础上，过渡到具有特殊形式的多项式的乘法.学习“平方差公式”可以让学生们更深入地体会到从一般到特殊的认知规律，并增强观察、发现和概括的能力.“平方差公式”不仅是对多项式乘法的巩固和进一步探究，也是为学习后面的因式分解作铺垫.在分式的化简、二次根式中的分母有理化和解一元二次方程等方面，“平方差公式”也会经常

2、被用到.因此，“平方差公式”在初中阶段的教学中也具有很重要的地位，公式的探究过程就是培养学生们数学能力的过程，并进一步发展学生的观察能力、抽象理解能力、推理能力和归纳能力.在学习这部分内容时，不但要掌握平方差公式的结构特征并灵活运用公式，还要会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.公式的探究过程如下：　　一、计算并观察　　活动1：计算下列多项式的积，并说说你发现了什么规律？　　（1）（a+1）（a-1）=；　　（2）（x+2）（x-2）=；　　（3）（2a+b）（2a-b）=；　　（4

3、）（2m+1）（2m-1）=.4　　【设计意图】通过这几道特殊的多项式的乘法计算，让学生们发现多项式的特征并比较多项式与相乘后所得积之间的联系.这一步不但复习了多项式的乘法计算，还为学习平方差公式进行了热身.　　二、观察并猜想　　活动2：根据活动1中的四道题回答下面的问题.　　①仔细观察，式子的左边都具有什么特征？　　②它们的结果有什么特征？　　③能用字母来表示你发现的规律吗？　　教师通过提问的方式引导学生们进行观察和猜想.学生们通过自主探究以及合作交流等方式对这个规律进行猜想：等式左边是两个数的

4、和与这两个数的差的积，式子的右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a+b）（a-b）=a2-b2.　　【设计意图】通过引导和提示，鼓励学生们仔细观察和猜想，探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理.　　三、实践及验证　　活动3：实践探究，有一个长为（a+b）、宽为（a-b）的长方形，剪下长为（a-b）宽为b的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系（a>b>0）.　　【设计意图】通过小组合作的方式，让学生们进行实践和探索，利用图形面积相等的关系

5、来验证平方差公式的正确性.还可以让学生们体会到数形结合的数学思想.　　四、总结和归纳4　　活动4：你能分别用文字语言和数学符号来表示所发现的规律吗？　　两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.　　（a+b）（a-b）=a2-b2　　【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，发展学生的组织语言及表达的能力.并且把语言表达转化为数学符号的形式，实现了用数学符号来表达数学公式.　　五、本质的探究　　活动5：你能准确表达出平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构特征吗？　　①左边是两个二项

6、式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即a2-b2；　　②在这个公式中，a和b不只可以代表一个数字，还可能代表一个式子.　　【设计意图】通过仔细观察公式，并总结出公式的特征和本质，正确理解公式中所含字母表示的意义.抓住概念的核心才能灵活使用公式.　　六、巩固和内化　　活动6：1.判断下列算式能否运用平方差公式计算：　　（1）（2x+3a）（2x-3b）；（2）（t2+1）（t2-1）；　　（3）（-m+n）（m-n）；（4）（-2a-3b）（2

7、a-3b）；　　【设计意图】学生经过思考、交流与讨论，并结合平方差公式的本质特征进行判断.进一步理解和巩固公式，特别是理解a与b表示的含义.进一步增强数学公式的运用能力.4　　2.小明家有一块“L”形的菜地，现在要分成两块形状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你想办法帮小明设计，并算出这块自留地的面积.　　【设计意图】让学生们感受到数学在实际生活中的运用，体会平方差公式的几何意义.同时巩固和加深了对平方差公式的理解，并学会灵活使用公式.　　总结　　在平方差公式的学习和探究过程中，学生们的主体

8、性得到了发挥，观察及验证推理的能力得到了提高，并对数学知识的学与用以及数形结合的数学思想有了更深刻地理解和感悟.学生们通过自主学习与交流合作的学习方式感受到了知识探索过程的乐趣，激发了对数学的兴趣.　　【参考文献】　　[1]杜万根.巧用拼图游戏验证平方差公式[J].中学生数学初中版，2012（6）.　　[2]杨雪冰.平方差公式的透彻教法[J].新课程学习，2012（1）.　　[3]华庆富.认知整式的乘法公式[J].新课堂数学版，2012（1）.4