高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 热点探究训练1 导数应用中的高考热点问题

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1、为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争热点探究训练(一)　导数应用中的高考热点问题1．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．[解]　(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.4

2、分(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2).8分①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.12分②当b>2时，若x满足2

3、)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.15分2．已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．[解]　(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x].3分当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即y＝4e

4、x－3e.7分(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.9分当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根.11分当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0(0，－(a＋2))－(a＋2)(－(a＋2)，＋∞)f′(x)0－0＋为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、

5、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争f(x)－a由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝.因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋

6、2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.15分3．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【导学号：51062092】[解]　(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).1分(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞

7、0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.3分(ⅱ)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a＞－，则ln(－2a)＜1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减.5分③若a＜－，则ln(－2a)＞1，

8、故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减.7分(2)(ⅰ)设a＞0，则由(1)知，f(x为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民