对函数单调性定义的再理解

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1、对函数单调性定义的再理解　　【中图分类号】G633.6　　1.问题的提出及解答　　函数在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数吗？　　解：函数在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数。因为，取x1∈（-∞，0），x2∈（0，+∞），例如x1=-1，x2=1，则有f（x1）

2、性的定义　　一般地，设函数f（x）的定义域为I：　　如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

3、）根本不是一个区间。并且运用下面定理再做强调。　　定理实直线R上至少含有两点的一个集E为连通集，当且仅当E是一个区间。[2]　　由此可以看出，上述观点紧扣函数单调性的定义中“对于定义域I内某个区间D上”这几个字，认为文章一开始提的问题前提不真，当然解答就错了。　　而有人则认为上述解法是正确的，认为：　　函数在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数是因为其不满足函数单调性定义中的“当x1

4、均是单调递增（减）函数，那么当f（b）≤f（c）[f（b）≥f（c）]时，y=f（x）在区间[a，b]∪[c，d]上仍是单调递增（减）函数。所以他说：　　“课本定义使用了‘某个区间D’，没有考虑到定义域的其他情形，显然是一种不周全的定义。比如对于自变量离散变化的情形（在数列中），或定义域为并集的情形等。如果把定义中的‘某个区间D’改为‘数集D’，就能克服以上缺陷和不足，就比较准确和科学了。”[3]　　3.高等数学中函数单调性的定义　　《数学分析》中这样定义函数的单调性：　　定义5函数f（x）在数集A上有定义。如果对A上任意x1与x2，且x1

5、　f（x1）f（x2）），　　称函数f（x）在A上严格增加（或严格减少）。如果上述不等式改为　　f（x1）≤f（x2）（或f（x1）≥f（x2）），　　称函数f（x）在A上单调增加（或单调减少）。　　函数f（x）在A上严格增加、严格减少与单调增加、单调减少，统称函数f（x）在A上单调。严格增加与严格减少统称严格单调。如果A是区间，此区间称为函数f（x）的单调区间。[4]　　4.笔者的看法　　通过对高中数学课本中函数单调性的定义和高等数学中函数单调性定义的比较可以看出，高等数学中函数单调性的定义要比高中数学课本中函数单调性的定义宽泛。由此看来，对文中问题

6、解答的不同看法折射出解答者的不同数学观。第一种观点紧扣高中数学课本中函数单调性的定义的前提条件。这种解答是严谨的，很有说服力的。第二种观点是根据高等数学中函数单调性的定义来解答问题的，当然也是对的，但是不能说高中数学课本中函数单调性的定义不严谨、“不周全”。实际上，高中数学课本中函数单调性的定义是很好的，并且很美，美在其简洁。试想一下，对于刚上高中抽象思维还很弱的高一学生来说，并不容易理解这个概念，困难就在它的简洁上，一简洁就抽象。如果再“周全”一些，恐怕学生就更想不清楚了。一个‘某个区间D上’，学生一下子“看见了”，头脑中有形了。在抽象的概念中却见到

7、了形，以形助数，帮助理解，这难道不好吗？这太好了，对高一学生来说真是一件幸事。5　　另外，高中数学课本中函数单调性的这种定义，已抓住了主要对象，对一些个别函数的研究实际无大碍，比如函数y=f（x），如果它在区间[a，b]和[c，d]（b≤c）上均是单调递增（减）的，且f（b）≤f（c）[f（b）≥f（c）]时，函数y=f（x）在区间[a，b]∪[c，d]上当然是单调递增（减）的。但是写成函数y=f（x）在区间[a，b]，[c，d]上是单调递增（减）的也没错。再比如对递增（递减）数列的研究，尤其是运用一次函数和二次函数研究等差数列及和的递增（递减）性，其

8、考察的主要目的是函数思想在数列中的运用，而非函数单调性本身。　　等到高等数学里把函数的单调性定