《现代控制理论基础》讲义教案第5章(续)

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1、5.6.3二次型最优控制问题现在我们来研究最优控制问题。己知系统方程为x=Ax+Bu(5.20)确定最优控制向量u(t)=-Kx(t)(5.21)的矩阵兀使得性能指标{xHQx--uHRu)dt(5.22)达到极小。式中Q是正定(或正半定)Hermite或实对称矩阵，是正定Hermite或实或实对称矩阵。注意，式(5.22)右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵0和斤确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量弘⑴是不受约束的。正如下面讲到的，由式(5.21)给出的线性控制律是最优控制律。所以，若能确定矩阵《

2、中的未知元素，使得性能指标达极小，贝'Ju(t)=-Kx⑴对任意初始状态*0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。图5.6最优控制系统现求解最优控制问题。将式(5.21)代入式(5.20),可得x=Ax-BKx={A-BK)x在以下推导过程中，假设A-BK是稳定矩阵，A-BK的所有特征值均具有负实部。将式(5.21)代入(5.22),可得J=r(xHQx-^xHKHRKx)dtJ0=l"Q+KHRK)xdt依照解参数最优化问题时的讨论，取x11(Q+K11RK)x=_--(x/zPx)dt式中的P是正定的Her

3、mite或实对称矩阵。于是xH(Q+K"RK)x=-xuPx-xuPx=-xH[(A—P+P(A-BK)x]比较上式两端，并注意到方程对任意％均应成立，这就要求(A-BK)〃P+P(A-BK)=-(<2+K"RK)(5.23)根据Lyapunov第二法可知，如果A-BK是稳定矩阵，则必存在一个满足式(5.23)的正定矩阵代因此，该方法由式(5.23)确定戶的各元素，并检验其是否为正定的(注意,这里可能不止-个矩阵P满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P,该

4、系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P不是正定的，必须丢弃)。性能指标可计算为Pco严J=xH(Q-^-KHRK)xdt=-xHPx=-x11(oo)Rv(oo)4-x11(0)^y(0)JoI。由于假设A-BK的所有特征值均具有负实部，所以兀(oo)tO。因此J=Vy(O)PXO)(5.24)于是，性能指标J可根据初始条件班0)和P求得。为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的/!是正定Hermite或实对称矩阵，可将其写为r=tht式中厂是非奇异矩阵。于是，式(5.23)可写为(A"-KhBh)P+P(A—B

5、K)+q+k*Ttk=0上式也可写为A"P+PA^TK-(Tu)_,BuP]HTK-(Tu)_1BHP]-PBR~}BnP+Q=0求丿对《的极小值，即求下式对彳的极小值xH[TK-(Th)■'BuP]H[TK—(Th)_,BhP]x(见例5.21)O由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当TK=(TnY{BuP吋，才存在极小值。因此K=厂1(Th)TBhP=/?■'BnP(5.25)式(5.25)给出了最优矩阵A；所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22)定义吋，其最优控制律是线性的，并由w(r)=-Kx(t)

6、=-R~］BnW)给出。式(5.25)中的矩阵P必须满足式(5.23),即满足下列退化方程A"P+PA—PB农'B“P+Q=O(5.26)式(5.26)称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下：1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26),以求出矩阵几如果存在正定矩阵戶(某些系统可能没有正定矩阵P),那么系统是稳定的，即矩阵A-BK是稳定矩阵。2、将矩阵P代入式(5.25),求得的矩阵《就是最优矩阵。例5.9是建立在这种方法基础上的设计例子。注意。如果矩阵A-BK是稳定的，则此方法总能给出正确的结果。确定最优反馈增益矩阵《还有另一种方法，其设

7、计步骤如下：1、由作为《的函数的式(5.23)中确定矩阵几2、将矩阵P代入式(5.24),于是性能指标成为《的一个函数。3、确定《的各元素，使得性能指标为极小。这可通过令dJIdk..等于零，并解出k..的最优值来实现丿对《各元素勺为极小。这种设计方法的详细说明见例5.11和5.12o当元素妫的数目较多吋，该方法很不便。如果性能指标由输出向量的形式给出，而不是由状态向量的形式给岀，即J=£{yHQy-rUHRii)dt则可用输出方程y=Cx来修正性能指标，使得丿为J=^(xHCHQCx^uHRu)dt(5.29)口仍可用本节介绍的

8、设计步骤来求最优矩阵K。［例5.9］研究如图5.7所示的系统。假设控制信号为试确定最优反馈增益矩阵K,使得下列性能指标达到极小式中“no由图5.7可看出，被控对象的状态方程为「0r_0_A=,B=001x=Ax+Bu式中图5.7控制系