教学重点和难点

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1、教学重点和难点相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幕定理解题是难点.教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1.根据图7-162（1）、（2）、（3）,让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.图7-1622.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者Z间是否有联系？提出问题让学生思考，在学生冋答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程,从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.⑴如图7-163,00的两条弦AB,CD相交于点P,则PA•PB=PC•PD.这便是我们学过的相交弦定理•对于这个定理有

2、两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心0,则有PA=PB=PC=PD=圆的半径R,此时AB,CD是直径,相交弦定理当然成立.（如图7-164）I)二是当P点逐渐远离圆心0,运动到圆上时，点P和B,D重合，这时PB=PD=0,仍然有PA・PB=PC・PD=0,相交眩定理仍然成立.（图7-165）（2）点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P,成为两条割线，则有PA・PB=PC・PD,这就是我们学过的切割线定理的推论（割线定理）.（图7-166）（3）在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C,D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点C,

3、割线PCD变成切线PC.这时有PA・PB=PC-PD=PC2,这就是我们学过的切割线定理.（图7-167）⑷如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2=PB2,可得PA=PB,这就是我们学过的切线长定理.（图7-168）C（D）BCC（D）D图67-167图7-168至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理Z间有着密切的联系.1.启发学生理解定理的实质.经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.观察图7-169,可以得出：（设00半径为R）在图仃）中，PA・PB=PC・PD=PE・

4、PF=（R-OP）（R+OP）=R2-0P2；图7-169在图（2）中，PA・PB=PT2=OP2-OT2=op=F在图⑶中，PA•PB=PC•PD=PT2=OP-R2.教师指出，由于PA・PB均等于I0P2-R2I,为一常数，叫做点P关于（DO的幕，所以相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理）统称为圆幕定理.二、例题分析（采用师生共同探索、讲练结合的方式进行）例1如图7-170,两个以0为圆心的同心圆，AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D,E,AB=12,A0=15,AD=8,求两圆的半径.分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径0B.求

5、0C也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE,再利用垂径定理便可求出AC,于是问题得解.（由学生讨论、分析，得出解决）例2如图7-171,在以0为圆心的两个同心圆中，A,B是大圆上任意两点，过A,B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX・AY二BP・BQ分析：在平面儿何比较复杂的图形中，往往都是由儿个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.方法1在图7-172中，过点A,B分别作小圆的切线AC,BD,C,D为切点.这时就出

6、现了切割线定理的基木图形，于是有AC2=AX・AY,BD2=BP・BQ.再连结CO,AO,DO,BO,易证RtAAOC^ARtABOD,得出AC=BD所以AX・AY=BP・BQ.方法2在图7-173中，作直线XP交大圆于E,F,分别延长AY,BQ,交大圆于C,D.这样就出现了相交眩定理的基本图形.于是有图7-172AX・XC=EX・XF,BP・PD=FP・PE.易证AX=CY,BP=DQ,EX=FP.所以AX・XC=AX・AY,BP・PD=BP・BQ,EX・XF=FP・PE.所以AX・AY=BP・BQ.方法3如图7-174,由于点0是圆内的特殊点，考虑过0点的特殊

7、割线，作直线A0交小圆于E,F,作直线B0交小圆于C,D,则出现了割线定理的基本图形.于是有AX・AY=AE・AF,BP・BQ=BC・BD.易证AE=BC,AF=BD,所以AE・AF=BC・BD.从而AX・AY=BP・BQ.通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的儿个定理紧密结合起来,沟通了知识间的联系，最后可启发学牛•联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法來证明此题？三、强化练习练习1已知P为00外一点，0P与00交于点A,割线PBC与交于点B,C,且PB=BC・如果0A=7,PA=2,求PC的长.练习2如图7-175,00和00’都经过点A和B,

8、PQ切00